Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
кубической сетки с экспоненциальным разбросом темпов перескоков между
соседними узлами.
Для случая сильно локализованных электронов перколяцион-ные соображения
приводят к несколько иной модели [51], отличающейся Топологически от
стандартных перколяционных задач для регулярных решеток. Именно, будем
считать, что темпы переходов Ги' случайны и меняются в широких пределах.
Будем по очереди разрывать "связи" между центрами, полагая
соответствующие l\v = 0, начиная от минимального. Тогда при некотором
значении Ги' -Гс электрон уже не сможет пересечь всю систему и
проводимость точно обратится в нуль. Иначе говоря, если считать по
определению, что два центра "связаны", лишь если Ги' > Г, то бесконечный
кластер зацепляющихся связей Существует только при Г <С Гс. В
рассматриваемом случае как положения центров, так, возможно, и их энергии
случайны, и мы имеем дело с топологически неупорядоченной сеткой связей.
В такой задаче не имеет точного смысла представление о координационном
числе, а общие закономерности, установленные для регулярных решеток
(касающиеся, например, инвариантности некоторых величин, см. Приложение
XI), могут оказаться
232
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
непосредственно неприменимыми. Мы вернемся к этому вопросу в следующем
параграфе.
В случае однофононных перескоков конкретный вид выражения для I\v
определяется формулами (4.9) вместе с (3.20) и (3.22):
г ___________________________________________________=
W К- |(е,,(^"("р(-^)+,)-
= wwt(T, ЕК, Еу). (8.1)
Функция g (Г, Е\, Ех) содержит всю основную температурную зависимость
темпа переходов. Во многих задачах характерные изменения энергии при
перескоках существенно превосходят Т. Если, наряду с этим, указанные
изменения не превышают максимальной энергии фонона (это, как правило,
отвечает низким температурам), то перескоки оказываются однофононными. В
этом случае из выражения (8.1) при \E% - F |, | - Еу\ Т
приближенно получаем, оставляя лишь основную, экспоненциальную
температурную зависимость:
?(7\ Ей Еу) ~ ехр (- 1 ^ ~ Е%'1 + 1 Е%~ F 1 + 1 ^). (8.2)
Следует подчеркнуть, что выражение (8.2) для функции С (Г, Ех, Е\>)
применимо не только для однофононных процессов,- нетрудно убедиться в
том, что оно сохраняет силу и для туннельных многофононных переходов,
вероятность которых определяется формулой (7.17).
С другой стороны, как видно из формулы (8.1), температурная зависимость
темпа однофононных переходов может быть и неэкспоненциальной. Так, при
\Ех - F \, | Еу - F |'СГ имеем
С(7\ Ех, Еу) " Т/(4\Ек-Еу\). (8.3)
При определенных условиях неэкспоненциальная зависимость темпа переходов
может привести к линейному температурному закону для прыжковой
проводимости (В. JI. Бонч-Бруевич, Р. Кайл ер, 1972)*).
Функция wxx' содержит квадрат матричного элемента с электронными
волновыми функциями, локализованными около точек R* и Rr; соответственно
асимптотически при больших расстояниях между центрами можно положить
ши'~ехр(-2\ [Ra. -Rr[). (8.4)
*) Возможно, что этим объясняются экспериментальные результаты 5. М-
Герщензона и др., указанные в § 1.3 (В. Я. Бонч-Бруевич, Э. О. Ману*
чаряцц, 1975). .........
$ 8. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
233
Обычно для простоты обратный радиус локализации у считается постоянным,
не зависящим ни от энергии, ни от направления g пространстве.
Выделяя основную экспоненциальную зависимость, мы мо-жем переписать
выражение для темпа перехода в случае (8.2) в виде
Гад/ - riv exp (- riu'). (8.5)
Здесь предэкспоненциальный множитель Г!(tm), слабо зависит от энергий и
координат центров, а
I - Ек, I + I Е, - F I + I Ек, - F I
= + -' 1 2Г 1 1 Я....'• (8.6)
Резкая экспоненциальная зависимость темпов переходов от характерных
разностей энергий и от расстояний между центрами как раз и приводит к
возможности перколяционного описания задачи о прыжковой проводимости (с
логарифмической точностью). Темпы переходов столь быстро убывают при
увеличении расстояний между центрами и при возрастании разностей их
энергий, что переходы на расстояния, заметно превышающие критические, как
и переходы между центрами с сильно различающимися энергиями, дают малый
вклад, несмотря на то, что число возможных путей перескоков при этом
возрастает.
Таким образом, в применении к задаче о случайной сетке сопротивлений
перколяционный подход оказывается эффективным приближенным методом,
позволяющим избежать весьма трудоемкой процедуры прямого решения
кинетического уравнения и отыскания средних чисел заполнения центров во
внешнем поле. Разумеется, наряду с общими рассуждениями, применимость
такого подхода подтверждается и непосредственным сравнением с
результатами численного расчета. Такое сравнение было проведено для
модельной системы с числом центров порядка IО3, случайно расположенных в
пространстве, с темпами переходов, экспоненциально зависящими от
расстояний между центрами и, возможно, от энергий состояний (Дж. Э. Пайк,
К. Зигер, 1974). Результат решения задачи о сопротивлении разветвленной
