Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
сетки сопротивлений совпал, с логарифмической точностью, с зависимостью
плотности тока от среднего расстояния между центрами, получаемой на
основе перколяционного подхода. В то же время численный расчет (В.
Амбегаокар, С. Кохран, Дж. Куркьярви, 1973) показал, что приближенные
теории, развиваемые без учета перколяционных соображений, дают
значительно худшее описание системы.
Следует отметить, что перколяционный подход в стандартной своей форме
дает лишь основную, экспоненциальную зависи*
234
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
мость проводимости от температуры и концентрации. Действительно,
указанная выше процедура позволяет найти показатель экспоненты в формуле
(8.5) с точностью до слагаемых порядка единицы, т. е. с точностью до
предэкспоненциального множителя. Вычисление предэкспоненциального
множителя представляет собой существенно более сложную задачу. Дело в
том, что здесь мы встречаемся с трудностью, специфической для
неупорядоченных систем. Именно, точный вид предэкспоненциального
множителя в асимптотических выражениях для локализованных волновых
функций не только плохо известен (как бывает при рассмотрении глубоких
уровней в кристаллических материалах), но может быть и случайным.
§ 9*. Критерий связей
Поскольку в общем случае кинетическое уравнение не допускает
аналитического решения, сведение задачи о проводимости к соответствующей
перколяционной задаче существенно упрощает дело, если решение последней
известно. "Классические" перколяционные задачи для регулярных решеток
исследованы достаточно подробно (см. [51-53] и Приложение XI). Однако для
неупорядоченного расположения центров численных расчетов существенно
меньше. Наиболее подробно изучена следующая задача. Пусть задана
некоторая система точек X, случайным образом разбросанных в пространстве.
Возьмем некоторую величину R и будем считать две точки "связанными", если
расстояние между ними | Ra, - Ra, | не превышает R. Очевидно, число
связей в системе возрастает с возрастанием концентрации точек п, причем
при некотором значении концентрации зацепляющиеся связи в системе
образуют бесконечный кластер. С другой стороны, при фиксированном п
бесконечный кластер появляется при увеличении R до некоторого значения R
- гц. Бесконечный кластер возникает, когда безразмерный параметр
становится равным хс. Численные расчеты дают для величины хс значения,
несколько различающиеся у разных авторов и лежащие в интервале между 0,29
и 0,38. Причина расхождения состоит, по-видимому, в том, что численные
расчеты выполняются для систем с ограниченным числом узлов, в то время
как величина хс по определению относится к бесконечной системе. Таким
образом, неизбежно возникает проблема выбора граничных условий и
экстраполяции результатов, полученных для ограниченных систем, на случай
бесконечно большого объема,
(9.1)
§ 9*. КРИТЕРИЙ СВЯЗЕЙ
235
В дальнейшем мы будем использовать значение хс = 0,347 (Дж. Куркьярви,
1974).
Если считать, как и выше, два центра связанными, когда I Ra,- Rv I < R,
то среднее число связей некоторого центра системы со всеми остальными
определяется выражением
v = ^ (Rx, Rv). (9.2)
|Ra-Rv |<R
Здесь Rv)dRv есть вероятность того, что центр V попадает в объем
rfRv около точки Rv при условии, что данный
центр X находится в точке Ra,. В отсутствие корреляции между
положениями центров
^(Ra, Rх) = п (9.3)
и число связей центра
v = ^-R3n (9.4)
в 8 раз превышает параметр (9.1). Соответственно критическое число связей
лежит в интервале 2,32 <; vc <; 3,0 (принятому выше значению параметра
(9.1) отвечает vc = 2,78).
Таким образом, достижению критической плотности связей соответствует
момент появления бесконечного кластера в системе случайно расположенных
центров со связями, наличие которых определяется расстоянием между
центрами. Естественным представляется подход, в котором вычисление
прыжковой проводимости рассматривается как задача со случайными связями.
При этом критическое перколяционное значение парциального темпа переходов
можно найти с помощью так называемого критерия связей. Согласно
последнему плотность связей достигает критического значения
v = vc (9.5)
в момент появления бесконечного кластера. Для случая, когда темпы
переходов не зависят от энергий (все энергии локальных состояний почти
совпадают), критерий связей (9.5) дает решение перколяционной задачи.
Заметим, однако, что в силу топологического различия пер-коляционных
задач для регулярных решеток и для системы случайных центров следует
проявлять осторожность при распространении выводов, относящихся к
регулярным решеткам, на неупорядоченный случай. Так, например,
инвариантность среднего числа связей в критической точке, zx{c\ близкого
к 1,5 для трехмерного случая, иногда служила основанием для того, чтобы
положить vc = 1,5 и для неупорядоченной системы цен-
236
ГЛ.IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
тров. Однако, как отмечалось выше, численные расчеты для таких систем
дают для vc заметно большее значение.
