Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
219
соответственно, вблизи плоскостей х = х\ и х = Х\ + L. Поскольку длина L
макроскопическая, она велика по сравнению с характерной длиной перескока.
При этом естественно определить плотность тока соотношением (5.21),
разделяя вклады от поверхностей х = х\ и х = х2. В предположении о
малости внешнего возмущения это соотношение переходит в полученные выше
формулы (5.14), (5.15).
При непосредственном использовании формул (5.1) или (5.7) следует иметь в
виду, что при правильной последовательности предельных переходов вклад в
соответствующие суммы дают сингулярные при а>->0 части функций б^(ю). Как
показано в Приложении X, решение кинетического уравнения (4.13) для
макроскопической системы длины L = х2 - х\ (например, системы А на рис.
14,6) содержит сингулярную часть, пропорциональную 1*'х^ "'<*¦> , где
j(Xi) - плотность тока через сечение
х - уCi, i= 1, 2. Полагая, что макроскопическая плотность тока мало
меняется на длине L (kL < 1), получаем отсюда, что указанная сингулярная
часть пропорциональна &/ю. Соответственно переход к пределу ?->0, (о->0 в
формуле (5.8) дает конечный результат.
Для однородного случая, когда j(x2) = j(xi), решение кинетического
уравнения регулярно, поскольку сингулярности, связанные с поверхностями х
= Х\ и х = xi, точно компенсируются. Из (5.21) видно, однако, что в
выражение для локальной плотности тока входит лишь вклад, связанный с
отдельной поверхностью. При выделении этого вклада (например, по рецепту,
определяемому формулой (5.22)) и появляется сингулярность типа 1/(о,
которая обусловливает конечность плотности тока, получаемой при ю->0 по
формуле (5.8).
Поскольку решение однородной статической задачи регулярно, величины /и"
выражающиеся через него, несингулярны при (о->0. Соответственно
представление плотности тока через парциальные потоки ixx, при переходе
от (5.1) к (5.15) и отвечает корректному выделению сингулярности типа 1/а
в выражении для б/я (со), появляющейся при условии, что переход ю->0
выполняется после предельного перехода й->оо.
Поскольку макроскопическая плотность тока и соответствующая ей
проводимость - самоусредняющиеся величины, во всех выражениях для
плотности тока можно выполнить усреднение по конфигурациям случайного
поля. При нашем подходе, когда система собственных функций гамильтониана
со случайным полем выбрана в качестве базисной, случайное поле входит в
выражение для плотности тока лишь через энергии Е\ и матричные элементы,
построенные на функциях ty*,. В области сильно локализованных состояний
случайными параметрами служат
220
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
энергии Ех и координаты центров локализации Rj,, и конфигурационное
усреднение сводится к усреднению по наборам некоторых случайных величин,
например Ех и R&. Это позволяет при вычислении, проводимости избежать
явных предположений о виде случайного поля, заменяя их заданием
статистических характеристик распределения, например координат и энергий
центров. Такой подход иногда оказывается более удобным, чем подход,
основанный на конфигурационном усреднении.
§ 6*. Метод функций Грина в теории
прыжковой проводимости
При квантовомеханических расчетах кинетических коэффициентов в случае
переноса свободными носителями широко используется формула Кубо,
устанавливающая связь между функцией линейного отклика системы и
корреляционными функциями [17]. Такой подход позволяет свести
кинетическую задачу к вычислению равновесной двухчастичной функции Грина,
решение уравнения для которой в случае слабого рассеяния дает результат
обычной кинетической теории.
В случае переноса по локализованным состояниям для функции линейного
отклика также получается выражение типа формулы Кубо. Действительно,
линейная по внешнему возмущению часть матрицы плотности бp(t)
определяется обычным образом из уравнения движения для матрицы плотности.
Пусть гамильтониан имеет вид Н -f- Hf, где Н - гамильтониан в отсутствие
внешнего электрического поля, Hf- гамильтониан (2.10). Введем обозначение
(Я | Т |А') Считая, что поле адиабати-
чески включается при t = -оо, получаем t
йр (0 = - х ? S dt' (О ехР [-Т н {t - П] х
-оо
х \_a+aKi, Р(0)] ехр [~Н (t - О]. (6.1)
где р(0) - матрица плотности в отсутствие внешнего поля.
Согласно (4.6) добавка к одночастичной матрице плотности, вызванная
внешним полем, равна
6/a1?4 = SP6P (0"?Х =
00
= " Т \ dx ? гьк V - т) SP Р<0) К (т) au (т)> ata>3- =
О Л3Я4
00
-Е <6-2)
-ОО
$ 6*. МЕТОД ФУНКЦИИ ГРИНА В ПРЫЖКОВОЙ ПРОВОДИМОСТИ 221
где
(T) = ^0(T)Spp(°)[a+(T)a,i(T)> a+aJ
(6.3)
есть обычная запаздывающая коммутаторная двухчастичная функция Грина.
Переходя к фурье-представлению с помощью соотношений типа
К (со) = J dt ешК (О,
мы получаем вместо (6.2)
о/ы, м - - 2 П* W к мм. <">• М
С помощью формул предыдущего параграфа можно выразить плотность тока
через двухчастичную функцию Грина. Так, вместо (5.1) мы имеем *)
/"(") = --§¦ ? (h\va\l2)rlsklKMMA(a)^
= ^ ? (*ll*JAa)?WW.((r)). (6.6)
