Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
тока может быть представлена конфигурационным средним следующего вида:
= <(*,-*v)2rU'><r(ffl).
№ ge ?2
Волее гибким, однако, оказывается парное приближение, когда ток
представляется в виде суммы вкладов парциальных токов от отдельных пар
центров локализации. Дело в том, что в указанном приближении могут
учитываться и возможные изменения чисел заполнения центров пары.
Парное приближение с успехом было использовано для вычисления частотной
зависимости плотности тока в области не слишком низких частот (М. Поллак,
Т. М. Джебел, 1961); соответствующая частотная зависимость близка к
экспериментально наблюдаемому закону cos, s ~ 0,8 (см. § 1.3). Ясно,
однако, что
230
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
при фиксированной плотности центров в области очень низких частот парное
приближение становится неприменимым. Действительно, если за полупериод
поля электрон в среднем успевает прыгнуть несколько раз, парного
приближения недостаточно. В частности, парное приближение неприменимо в
статическом случае.
В стационарном случае сопротивление системы (или эквивалентной ей сетке
случайных сопротивлений) определяется полной вероятностью того, что
электрон пройдет через всю систему. Названная вероятность, в силу
сказанного выше, не сводится к усредненным индивидуальным вероятностям
перескоков, а определяется глобальными характеристиками образца.
Действительно, электроны будут пересекать систему в направлении
приложенного поля, выбирая оптимальные пути, отвечающие максимальной
вероятности прохождения через всю систему. Такие пути, вообще говоря, не
состоят из последовательности перескоков, каждый из которых происходит с
данного центра X на соседний X', для которого темп переходов Ги'
максимален. Дело в том, что эти "соблазнительные" цепочки перескоков
фактически не эффективны: они, как правило, заканчиваются "мертвыми
концами" ("тупиками"), т. е. электрон в конце концов попадает на центр,
вероятность ухода с которого очень мала. В связи с этим было предложено
использовать другой подход, основанный на теории протекания, или
перколяции (В. Амбегаокар, Б. И. Гальперин, Дж. С. Лэнджер, 1971; Б. И.
Шкловский, А. Л. Эфрос, 1971; М. Поллак, 1972)*). Краткая сводка основных
результатов теории протекания приведена в Приложении XI.
Задачу о прыжковой проводимости можно непосредственно свести к
перколяционной задаче связей, рассмотренной в Приложении XI, если система
центров топологически упорядочена (Дж. М. Займан, 1968). Роль беспорядка
сводится при этом к случайному изменению темпов переходов между центрами,
например, при изменении расстояния R между ними. Часто темпы переходов
очень резко (экспоненциально) зависят от R и изменяются в очень широких
пределах. При этом проводимость системы можно оценить с помощью
следующего приема. Будем
*) Название "теория протекания" (теория перколяции) происходит от
английского термина "percolation theory" (буквальный перевод: percolation
- просачивание). Термин "протекание" довольно точно отражает существо
дела в ряде случаев, в частности, когда задачу можно непосредственно
свести к классической задаче о течении жидкости по местности со случайным
рельефом. В случае прыжковой проводимости по локализованным состояниям мы
уже не имеем столь наглядной картины: движение происходит по дискретному
набору точек пространства, и, сверх того, может добавляться четвертая -
энергетическая - координата. Оба термина "протекание" и "перколчция"
используются в литературе на русском языке на равных правац.
§ 8. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
231
считать соседние центры "связанными", если Гш больше некоторого значения
Г; соответственно связь между соседними центрами отсутствует, если Ги- <
Г. Вероятность х существования связи между соседними центрами
определяется в этом случае вероятностью того, что темп перехода Ги'
превосходит Г; очевидно, * = .х(Г). При таком определении мы приходим к
перко-ляционной задаче связей. Задача эта состоит в отыскании
критического значения доли неразорванных связей ПРИ ко-
тором еще существует бесконечный кластер зацепляющихся связей, так что
электрон может пересечь всю систему по связям (т. е. путем переходов с
Ги' > Г). Критические значения х^ для различных двумерных и трехмерных
решеток хорошо известны (см. Приложение XI), они удовлетворяют
приближенному соотношению zx^ & d/(d - I), где d - размерность про-
(Ь)
странства, z- координационное число, а гхс есть среднее число
неразорванных связей, сходящихся в данном узле. Зная х^> можно найти и
критическое значение Гс, отвечающее моменту появления бесконечного
кластера связей. Это значение и определяет характерную величину
проводимости системы. Действительно, переходы с Гм С Гс мало сказываются
на общей проводимости, а переходы с Ги' Гс не играют существенной роли,
ибо, как уже говорилось, электрон не может пройти через всю систему
только путем таких перескоков. Это непосредственно подтверждается
результатами численных расчетов, выполненных для модели регулярной
