Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
примесной зоны. В дальнейшем мы будем пренебрегать корреляцией между
координатами и энергиями центров: в рассматриваемом случае это
предположение оправдывается тем, что характерная длина перескока порядка
и намного превы-
шает радиус локализации -у-1.
Поскольку среднее число связей v оказывается теперь зависящим от энергии,
следует воспользоваться модифицированным критерием связей для величины
v(E), должным образом усредненной по эффективному слою энергий (§ 9). При
выполнении условия (9.10), когда плотность состояний мало изменяется в
пределах эффективного слоя, мы имеем на основании критерия связей
Согласно § 9, постоянная А близка к 3,3. Таким образом,
и А\ - 6Avc/n " 17,5. Мы получили для рассматриваемой модельной системы
закон Мотта (1.3.7). Полагая для оценки у - = 2-107 см-1, р(F) = 1019 см-
3 эВ-1, мы находим Т0 " 108 К, что близко к экспериментальному значению
Т0 в ряде материалов.
Физические причины, по которым температурная зависимость проводимости в
данном случае оказывается более слабой, чем обычная активационная
зависимость, можно понять в рамках модели случайно распределенных центров
локализации (Н. Ф. Мотт, 1969). Пренебрежем корреляцией между
координатами и энергиями центров. Тогда чем ближе друг к другу
расположены два каких-либо случайно выбранных центра, тем больше (в
среднем) будут отличаться их энергии, и наоборот. Действительно, в сферу
радиуса R, описанную около некоторого за-
4 хс
данного центра, в среднем попадает -pR3AE центров, энергии
которых лежат в полосе шириной АЕ (для простоты мы рассматриваем случай
постоянной в данном интервале энергии плотно'
(10.4)
где
У]с = (Т0/Т)т, T0 = Aiys/p(F)
(10.5)
(10.50
242
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
сти состояний р). Отсюда следует, что для "типичных" пар центров,
отстоящих друг от друга не дальше, чем на R, разность энергий есть
величина порядка
Д? - (-^рД3)"1. (10-6)
Из таких типичных пар наибольший вклад в проводимость будут давать те,
которым отвечает максимальная вероятность перехода, т. е. (с
логарифмической точностью) максимальное значение экспоненциальной функции
в выражении для вероятности активированного прыжка. В соответствии со
сказанным, оптимизация ее аргумента должна проводиться при условии, что
R~ IRx- Rr I и АЕ = | Е\ - Ек | связаны соотношением (10.6). Поскольку
можно ожидать, что из таких типичных пар можно составить цепочки
перескоков, проходящие через весь образец, полученное таким путем
значение и принимается за характеристику проводимости всего образца. Это
рассуждение приводит к закону Мотта (10.1), (10.5) с близким к указанному
выше значением постоянной А\. Оно обосновывается изложенным ранее
последовательным подходом, учитывающим переходы вверх и вниз по энергии и
опирающимся на перколяционные соображения.
Говоря о соответствии закона Мотта экспериментальным данным по
температурной зависимости проводимости (в частности, для аморфных
германия и кремния), следует иметь в виду известные трудности такого
сравнения. Действительно, в условиях, когда энергия активации
проводимости зависит от температуры, трудно с полной уверенностью
установить закон изменения проводимости как из-за ограниченности
температурного интервала измерений, так и из-за неопределенности,
связанной с предэкспоненциальным множителем сто. Так, результаты
экспериментальных измерений проводимости аморфных германия и кремния в
интервале температур 40 ч-400 К описывались зависимостью
ст = СТХ ехр [- (Го/7У] (10.7)
(А. Дж. Льюис, 1976). Здесь параметры С, х и Т0 при различных у
выбирались так, чтобы обеспечить наилучшее описание экспериментальных
данных. Оказалось, что хорошее согласие с экспериментом может быть
достигнуто в широком интервале значений у (от у - 0,2 до у = 0,55) за
счет подбора л; (получающиеся значения х лежат, соответственно, в
интервале между -7,5 и 2,75; д: = 0 при у " 0,375). Оптимизационная
процедура обработки результатов измерений проводимости аморфного германия
по формуле (10.7) с х ~ 0 привела к выводу о том, что показатель у ближе
к 1/2, чем к моттовскому значению 1/4 (И. Кубе-
§ 10. ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ПРОВОДИМОСТИ 243
лик, А. Тришка, 1972). По-видимому, в настоящее время нельзя достаточно
точно определить, каким значениям х и у в (10.7) соответствуют имеющиеся
экспериментальные данные*).
С другой стороны, приближения и упрощения, принятые в проведенном выше
модельном расчете, не позволяют утверждать, что показатель экспоненты у
должен быть точно равен 1/4. Прежде всего, в расчете делалось
предположение о медленном изменении плотности состояний в пределах
эффективного слоя (9.10). Согласно (10.5)
т. е. величина ?тах может достигать нескольких десятых эВ, поскольку ric
= (Г0/Г)1/4 " 30. На таких интервалах энергии в реальных системах
плотность состояний может заметно меняться. Если плотность состояний
меняется по закону
то перколяционные соображения (критерий связей) дают
Отметим, что на температурной зависимости прыжковой проводимости может
