Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
температуры.
§ 12. ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ПРЫЖКОВОЙ ТЕРМОЭДС 251
В системе с экспоненциально большим разбросом темпов переходов
естественно предположить, что полные сопротивления различных цепочек
связей, соединяющих некоторую пару центров, будут очень сильно
различаться, коль скоро расстояние между этими центрами не слишком
велико. Соответственно бесконечный кластер или трехмерную сетку связей
можно считать состоящими из отдельных неразветвленных цепочек -
макросвязей, длина которых намного превосходит длину перескока; мы
приходим тогда к модели одножильной сетки сопротивлений (А. С. Скал, Б.
И. Шкловский, 1974; П. Г. Де Женн, 1976). В рамках этой модели
принимается, что значительная доля связей принадлежит "мертвым концам",
навешенным на скелетную сетку макросвязей. Пусть Lcq есть характерное
расстояние между узлами скелетной сетки; именно это расстояние и
определяет в данной задаче значение корреляционного радиуса, на котором
коррелированы флуктуации чисел заполнения узлов 6f\. Ясно, что переход к
макроскопическому описанию системы возможен лишь для масштабов,
превосходящих Ьсо, когда можно ввести представление о физически малом
объеме, в котором можно пренебречь флуктуациями термодинамических величин
(сравните с § 4).
В соответствии со сказанным выше, рассмотрим перенос
вдоль простой неразветвленной цепочки связей (макросвязи) длины /
(порядка Lc0) при наличии как разности электрохимических потенциалов, так
и разности температур между ее концами. Согласно закону Кирхгофа (4.15)
для этого случая парциальные потоки вдоль цепочки - одни и те же между
любыми парами соседних узлов, т. е.
ку = = is = const (12.5)
для любых соседних узлов вдоль цепочки.
Пусть U\ есть разность обобщенных потенциалов между
концами рассматриваемой цепочки, которые отстоят друг от друга на
расстояние / в направлении приложенных поля и
градиента температуры. Обозначая символом ? суммирование
U'
по последовательности соседних звеньев цепочки, можем записать
ll} = U + [(Esl - F) Rsi - (Es2 - F) Rs2] V In Г =
= Z' Uhj = Z' Гй' (Ги'ВД = is Z' Гй'. (12-6)
U' U' U'
Здесь Esi и ES2, Rsi и RS2 - энергии и координаты центров, находящихся в
концах цепочки, а величина Z Гм/ пропорцио-
ЛА
252
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
нальна сопротивлению рассматриваемой цепочки. Из формулы
(12.6) находим
is = (j Tu'V' (?/// - (?s2 - F) rf 1п №), (12.7)
\ U' /
поскольку без ограничения общности можно положить xs\ ~ О,
Xs2 X I.
Поток электронов через некоторую заданную плоскость, перпендикулярную оси
Ох, определяется суммарным вкладом всех цепочек, ее пересекающих.
Плотность тока вдоль цепочки, согласно (12.7), зависит от энергий
граничных центров; очевидно, корреляцией между энергиями центров,
находящихся на противоположных концах цепочек, можно пренебречь, и потоки
определяются соответствующими усредненными величинами:
j = - ens(is). (12.8)
Здесь ns " 1~2 - поверхностная плотность цепочек, а усреднение проводится
с весовой функцией ?P{ES)-плотностью вероятности того, что центр с
энергией Es принадлежит одной из цепочек эффективной "скелетной"
подсетки, получаемой из сетки связей отбрасыванием "мертвых концов":
(?,)/,. (12.9)
Таким образом, для проводимости имеем
а = \ dEsP (Es) fj ?' Гй'У *. (12.10)
\ U' )
Выражение (12.10) совпадает с (12.1), если отождествить ёг0> (Es) ^
Гй'^ с функцией a(Es) (-dnF(Es)/dEs). Однако
введенная так функция a(Es) не имеет такого простого смысла,
как раньше. Действительно, величина е2 {у ^ ГпЛ практиче-
\ ш )
ски не зависит от энергии Es, поскольку энергии различных центров цепочки
независимы, а от Es зависит лишь один из членов рассматриваемой суммы.
Таким образом, проводимость пропорциональна усредненному по эффективному
слою энергий темпу переходов.
Выражение для термоэдс можно получить непосредственно из (12.7), (12.8),
если положить / = 0.'Мы имеем для
§ 12. ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ПРЫЖКОВОП ТЕРМОЭДС 253
электронов
Последнее равенство непосредственно вытекает из обсуждавшегося выше
свойства практической независимости величины
Отыскание плотности вероятности &(Е), строго говоря, требует исследования
топологии бесконечного кластера связей. Однако, как и раньше (§ 9), можно
предположить, что функция t?(E) ~ p(E)v(E - F), где \{Е - F)- число
связей, образуемых центром с энергией Е. При таком предположении
выражение для термоэдс (12.11) можно записать в виде
Заметим, что хотя результат (12.11), (12.12) и не содержит экспоненты,
он, как и соответствующий результат для проводимости, справедлив лишь с
логарифмической точностью. Действительно, при выводе равенства (12.12)
мы, как и в § 9, пренебрегали парциальными потоками между центрами,
вероятность прыжка между которыми меньше некоторого заданного значения.
Выражение для термоэдс в виде (12.12) уже допускает непосредственную
количественную оценку, если сделать те или иные предположения о плотности
состояний. Из формулы
(12.12) видно, что при р(Е) = const (при этом v(?) = v(-Е)) термоэдс
