Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь достаточно рассмотреть случай гладкого поля (В. Л. Бонч-Бруевич, В.
Д. Искра, 1975). Действительно, влияние поля заряженной примеси
становится существенным лишь при достаточно большой ее концентрации,
когда п,г1~>. 1. При этом, однако, и сам экситон обычно перестает
существовать как стационарное состояние (§ 11.15).
Ограничимся, далее, случаем гауссова поля: как уже отмечалось в § 2,
получающиеся при этом результаты с логарифмической точностью остаются в
силе для довольно широкого класса случайных полей. В данной задаче удобно
не вводить массовый оператор типа (5.14), а поступать по образцу § 2.
Введем в уравнении (5.2) координаты Якоби (II. 15.2) и представим функцию
/Ст (Ri, п; R2, г2; со) в виде
KT(Rb ГЬ 1*2> г2; со) =
= ^ da' dR' dr' nF (со') К (Ri, Гь R', г'; со) {/" (R', г'; R2, г2; со')
-
- 1С (R', г'; R2, г2; со')}. (6.1)
§ 6*. ВЛИЯНИЕ ЭКСИТОННЫХ ЭФФЕКТОВ 315
При этом для функции К получится уравнение
{ со - Eg + VI + V2r - U(R, г) - I/ (г) } (R, г; R', г';
со)=
= - 6 (R - R') 6 (г - г'), (6.2)
где , как и в § II. 15, через М и тг обозначены полная и приведенная
эффективные массы, а функция (7(R, г) дается выражением (II. 15.4).
Ограничимся по-прежнему условиями (5.9). Тогда, согласно (6.1), (6.2) и
(5.1), мы получаем (сравните с (П.ХП.13) и (П. XII.14))
со
а (со) ~ lim Re ^ ds UrV* fa (R - R') S (r - r')>, (6.3)
r->0 J J r'->0 0
где
L = exp {is [If Vr + Vr2 - U (R, r)-V (r)] } . (6.4)
Как и в § 2, разложим U в ряд Тейлора по г, сохраняя лишь первые два
члена разложения. Получим
L = ехр {- is (Н0 + б Я)} ехр (-^r Vr) , (6.4')
где
H0 = -^V*+V(r), 6Я = (г, VrU (R)). (6.5)
Дальнейшее зависит от соотношения между боровской энер-
гией экситона и характерной энергией электрона в случайном поле. Согласно
(2.10) последняя в данном случае дается выражением
&*)" (м)
При Е, <С Е экситонные эффекты не играют роли: случайное поле "разрывает"
экситон (§ 11.15), и мы возвращаемся к задаче, изученной в § 2.
Ограничимся поэтому случаем
Ев > Е. (6.7)
Как мы знаем, аппроксимация, которая приводит к (6.5), состоит в
пренебрежении пространственными производными от градиента потенциальной
энергии электрона в случайном поле, т. е. от напряженности случайного
поля. Иначе говоря, независимо от фактической природы U (г) мы получаем
формально ту же задачу, что и в однородном электрическом поле
напряженности V.U/e.
316 гл. V. МЕЖДУЗОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ
В условиях (6.7) здесь можно воспользоваться стандартной теорией эффекта
Штарка. Если потенциальная энергия У (г) имеет чисто кулоновский вид, то,
как известно [19], собственные значения оператора #о + 6# даются
выражением
Еп^т = Еп + ап>П21 S | - ЬП1ПР + О (S3). (6.8)
о ав
Здесь т, п2, т - целые числа или нули, S = -=r- VU - безраз-
?в
мерная напряженность поля,
fi = fii -f п2 -f | т |-f 1, Еп = - Ев/па,
з
аП[п, = j Ев (п\ - п2) п,
= [17л2 - 3(л, - п2)2 - 9т2 + 19]. (6.9)
Соответствующие волновые функции Фn nim удобно выражать в параболических
координатах g = р-f-г, г] = р - г, ф (р - радиальная координата, ф -
азимутальный угол).
Второе слагаемое в правой части (6.8) описывает линейный эффект Штарка.
Видимо, в рассматриваемой задаче оно несущественно. Действительно, во-
первых, это слагаемое появляется только в рамках чисто водородной модели.
Во-вторых, явная оценка вклада, вносимого им в интеграл (6.3),
показывает, что этот вклад мал, коль скоро
(Eg -а + Ев)2 > ^ а2пт\г •
Ь Ев
По этой причине в дальнейшем мы ограничимся учетом только квадратичного
эффекта Штарка.
С учетом (6.4) интеграл по R' в правой части (6.3) легко вычисляется. Для
реализации оператора L в применении к функции 6(г-г') удобно представить
последнюю в виде разложения по функциям Фп,пгт и воспользоваться
приближенным соотношением
(Но -(- 6Я) Фп,пт - Еп1птфп1пт' (6.10)
Таким путем легко находим
а (со)= ? аП1Пг (со), (6.11)
. .. Дь ЯЗ
где
оо
artim(co) ~ Re ^ ds ехр [w (со - Eg) - Еп] X
; 0
X (ехр {isbn.n,S2}m=0)| Ф"1Пг0 (|=0, Т1 = 0) р. (6.12)
5 б*. ВЛИЯНИЕ ЭКСИТОННЫХ ЭФФЕКТОВ
317
Усреднение по гауссову полю S выполняется так же, как и
в § 2, и, возвращаясь к обычным единицам, мы получаем:
Выражение (6.13) описывает хвост коэффициента поглощения, простирающийся
в область энергий, лежащих ниже соответствующего невозмущенного
экситонного уровня: ha> < Ее-
Сумма (6.11) могла бы оказаться довольно сложной функцией частоты.
Заметим, однако, что при Ев Ё показатель экспоненты в (6.13) быстро
возрастает по модулю с увеличением числа п: как видно из (6.14), при пг =
О
Сверх того, предэкспоненциальный множитель в (6.13) быстро убывает с
ростом п.
Таким образом, при h(a<Eg - Ев главную роль в сумме в
(6.11) играет слагаемое с п = 1 (т. е. с ri\ = п2 = 0), и мы вновь
получаем экспоненциальный хвост коэффициента поглощения:
а) При Е - ha - Ев/п2 > 0
&П1Пя
Здесь
(6.14)
а множитель п 4 связан с тем, что [19]
"20 (I = о, Т] = 0) = п~2я~1/2.
б) При Eg - ha - Ев/п2 < 0
О.ЩП2 Ы = 0.
