Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
электронов*). Тогда получается
at, и (0 = ехР | j 5 dQ Е ^ке' ^} a*-i' li'
Як. /2 (t) = ехр | - j ^ dQ Е (ке, h) | av_t, /2,
(2.20)
где
к, = к--&/. (2.21)
При этом коммутатор, фигурирующий в формуле (2.18), легко вычисляется.
Подставляя (2.18) в (2.6) и выполняя статистическое усреднение, находим
(жяг), = ( wr)'l 2 о-(k' "If - ¦п-(к' X
1,1' к
оо
X Пт \ da'sr\x (со? - со5) А], г, к (со*, со*) Л/, г, к (со*, со,),
(2.22)
ОО J
*) Обычно это оправдано при напряженности поля ^ 10е -г- 107 В/'см.
328 ГЛ. VI. РЕЗОНАНСНОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СЙЕТА
где tiF (к, /) - функция Ферми от Е (к, /) и
оо t
Ai', I. к К, CD= \.-§- 5 df {pf,t r (к,) Р/. , (k(,)x
I" -oo - oo
Г 1
X exp / ^ dQ (cor, i" (ke) + cos) + i ^ d6 (соr, v (ke) - co() -
L 0 о -I
- pj, (k,,) ; (k,) exp / 5 dQ (cor r (k0) - co(.) +
L о
+ i ^ dQ (co/- r (ke) + cos) j j , (2.23)
m',i(k) = ~[E(k,n~E(k,l)]. (2.24)
Пусть теперь напряженность электрического поля параллельна одному из
основных векторов обратной решетки К. Тогда периодичность энергии Е(к, I)
как функции к приводит и к периодичности по t:
ф1, v (^<) ~ (r)/, /'(^<+г*)' Pi'.b (^<) ~ Pi\ *,(^/+rjj)' (2.25)
где
Г, = А/С/е |8|.
Преобразуя интеграл по времени в формуле (2.23) с помощью этих
соотношений и выполняя усреднение по структуре Штарка, находим (см.
Приложение XV)
(жк), = (i?)' 1о и -/и х
4 I. V к
Г/2 t
1IZ I у
\ S Pkr(kt)Pki(kt')X
t* -Г/2 -Г/2 V
( t *' )
X exp | i ^ d0 [cor. i" (ke) + cos] -f i ^ d0[co;", v (ke) - сог] |
- p\% r (k,,) pl"t t (k,) exp у г ^ dQ [cor, r (ke) - (c)i] +
* 0
+ / J rf0 [<o/\ V (ke) + cos] | J
(2.26)
329
Рассмотрим выражение (2.26) для частного случая двухзонной изотропной
параболической модели, полагая
(к) = со
hk2
"т 2mr
p'c'vs (k) ~ p%s (0) = pl's.
(2.27)
(2.28)
Будем при этом рассматривать внутризонное рассеяние электронами зоны
проводимости. Последнее означает, что в формуле (2.26) следует положить I
= Г = с, Г - V. Тогда в отсутствие внешнего электрического поля (S = 0)
резонансным оказывается только второй из двух двойных интегралов, стоящих
под знаком модуля в (2.26). Пренебрегая в дальнейшем нерезонансным первым
слагаемым, мы получаем
{-Щ-) =(ЛТ1^ф#^1*Ик.с)[1-.,(к.^)]/. (2-29)
\ dQ dais /g \ т0с / h т0
где
f-
2л
~Т~
Т$/ 2
J
-Г*/ 2
t , t
\ IE \ dt' ехР 1 1 S dQ "со (ке) + ".] +
'т/2 -Г/2 ^ 0
V . 12
+ ^ dQ [озси (к0) - o)j] М . (2.
Г) J
30)
Легко убедиться, что интеграл f не зависит от параллельной полю
компоненты k\\ вектора к. В частности, можно положить k\\ = 0. Тогда
юсо (ке) = (k±) + 0203,
"2 = [Wf
L 2mrh J •
Положим в (2.30)
Получим
/ =
2я
тж
X = ¦
ег^
2
| (k±) -
"со (k±) ~ '
(2.31)
(2.32)
(2.33)
S S ds' exP [- 1 {ys+s?/3)+i + s,3/3)]
(2.30')
2
erg
2
330 ГЛ. VI. РЕЗОНАНСНОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА
Фигурирующий здесь двойной интеграл можно выразить через функции Эйри
первого и второго роца-Ai(z) и Bi(z):
/ - I Ai М Ai (у) - i [0 (х - У) Ai (*) Bi (у) +
+ Q(y-x)Ai(y)Bi(x)] Р, (2.34) где 0(я - у) - ступенчатая функция.
В случае невырожденного электронного газа nf(k, с)<С 1 и характерное
значение энергии h2k2/2mc - порядка Т, т. е. | hk |~ -\/2тсТ. Если
(tnc/mr) Т "С Й0, то интеграл ? слабо зависит от ki_ и его можно вынести
за знак суммы по к в (2.29) при
k± - 0. Оставшаяся сумма ? пР (к, с)[\-п.р (к, с)] ~ ? пР (к, с)
к к равна tiQ, где п - концентрация свободных электронов, a Q - объем
образца. Таким образом, окончательно
ЫЙг),
где
<2-36>
Е(х (*) №(У) Нг В?(у)\, х > у,
К ,У) X АР(у)[АЩх) + ВР(х)}, х<у, {Z-61)
и
, , 2 \р1'' s I2 2яhK
flr's = 1 I 1 , v = -гтгт-. (2.38
'ov m0tUOg e I g I v >
6) Комбинационное рассеяние фононами. Обратимся теперь к рассмотрению
комбинационного рассеяния света с участием фононов. Соответствующий вклад
в оператор А дается выражением
ОО t
Siv**' Jл-х
- 00-00
X{[/o(0, /{(/')]_+[/f(0, 4(01} (2.39)
или, с учетом (2.16),
§ 2*. ВЛИЯНИЕ ГЛАДКОГО ПОЛЯ ПРИ 1С < |0 331
Пользуясь теперь формулами (2.17) и замечая, что
(t) = exp (/со,,/) b%, Ьц (t) - exp (- iaq/) 6q, (2.41)
можем переписать оператор взаимодействия электронов с фоно-нами в виде
Яе. ph = V (k-/, q; /) exp j j ^ d& [Е (ке + q, /) - Е (ке, /)] | X
q к. / '•О '
X flk+q. ictk, I (exp (- toy) bq + exp (/(c)"/) bJ). (2.42)
Пользуясь соотношениями (2.15), (2.19) и (2.42), мы можем без труда
вычислить двойные коммутаторы, фигурирующие в правой части (2.40). Для
простой двухзонной модели, рассмотренной в п. а), мы получаем (ас, v(k) -
Ес, v(k)/Н)
оо t V
лрЬ<""".,)=-^?? \ d,' \
^ q k -w - oo -oo
X j/t4 (k< + q) V (kr, q; c) exp i j dQ (cocv (ke + q) - cos) +
t" -i
+ г ^ rf0 (coc (k0 + q) - (oc (ke)) - pscv (M V (kf", q; v) X
0 J
X exp?-/ j dQ (cdc0 (ke) -(Os) + i j dQ {a>co (ke + q) - (oo(k0))J| X X
Pcv (k-r) exp |\' ^ dQ (av (ke) - со,) j X
X {hcfT 'V* + bt ef(V"} ak++q, "Як. и + ... (2.43)
Здесь опущены (обозначенные многоточием) три слагаемых, построенных так
же, как и явно выписанное выражение. Простоты ради (как и в п. а))
