Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ I. ВВЕДЕНИЕ
153
Существуют, однако, задачи, в которых можно заранее указать наиболее
актуальные конфигурации случайного поля. Так, например, обстоит дело,
когда нас интересует область энергий глубоко на хвосте плотности
состояний, где она мала (а в отсутствие случайного поля - равна нулю). В
этой области энергий плотность состояний отлична от нуля лишь благодаря
сравнительно маловероятным конфигурациям случайного поля. Именно, важными
оказываются конфигурации, в которых имеются достаточно глубокие
потенциальные ямы, способные создать дискретный уровень Е на интересующей
нас глубине. Аналогичное положение имеет место, когда нас интересует
вероятность сосуществования двух глубоких локализованных состояний с
заданным конечным расстоянием между центрами локализации [37]. В
указанных задачах существенной при функциональном интегрировании по U{г)
оказывается лишь малая область конфигурационного пространства U(г) вблизи
некоторой оптимальной конфигурации I/о (г). Соответствующий метод расчета
плотности состояний развит в работах И. М. Лифшица (1967) и Б. И.
Гальперина и М. Лэкса (1966), ему посвящены §§ 2 и 3 данной главы.
В настоящей главе принята та же постановка задачи, что и в §§ II. 1-II.
13. Вдобавок мы рассматриваем лишь одну ветвь энергетического спектра
электронов (для определенности - зону проводимости) и пользуемся в
качестве вспомогательного изотропным параболическим законом дисперсии
Е(р) - р2/2т. Нуль отсчета энергии совмещен с границей зоны Ес, сдвинутой
на среднее по ансамблю значение случайного потенциала. .Таким образом,
как и раньше (в гл. II), <t/(r)> = 0. Далее, пренебрегая динамической
корреляцией между электронами, мы считаем статистические характеристики
случайного поля не зависящими от состояния системы электронов. Фактически
такая зависимость потенциала 1/(г) может войти, например, благодаря
электронному экранированию; радиус экранирования может играть роль
характерной длины убывания используемой ниже бинарной корреляционной
функции.
Последняя определяется обычным выражением (см. (II. 7.5)):
?(1 Г -Г'о = <?/("•) ?/(*•')>. (1.1)
В этой формуле явно указано, что роль аргумента функции 47 играет модуль
разности радиус-векторов г и г'. Это есть выражение макроскопической
однородности и изотропии системы.
Принятые в такой постановке задачи упрощения несколько ограничивают круг
систем, к которым могли бы относиться результаты теории. Все же многие
закономерности и эффекты, обусловленные именно случайным характером поля,
таким путем удается установить.
154 гл. III. плотность состоянии И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Наконец, будем рассматривать только гауссово случайное поле. При этом все
характеристики поля выражаются только через бинарную корреляционную
функцию 'F(r). Как отмечалось в § II. 7, гауссова статистика случайного
поля реализуется во многих физических интересных системах. С другой
стороны, это - едва ли не простейший пример случайного поля [38].
§ 2. Метод оптимальной флуктуации
В настоящем параграфе указанный в заглавии метод будет применен к
отысканию плотности состояний р(Е) в области больших по абсолютной
величине отрицательных значений энергии, т. е. глубоко под дном зоны
проводимости. Те же результаты справедливы и для дырок, с очевидными
изменениями смысла некоторых величин. Согласно сказанному в § 1.6, мы
должны найти следующее среднее по ансамблю полей U(г):
(2Л>
где Е% - собственные значения уравнения Шредингера в конкретном поле
U(г). Операция усреднения производится путем функционального
интегрирования по полям U(г) с плотностью распределения (II. 7.12'):
& [U (г)] = N ехр { - 1 J dr dr' U (г) В (| г - г' |) U (г')} • (2.2)
Здесь В(|г - г'|)-положительно определенное ядро, N - (формально
бесконечный) нормировочный множитель, такой, что
\g>[U(r)]P[U(r)] = l, (2.3)
а символом ^2D[f]A [f] здесь и в дальнейшем обозначается
операция функционального интегрирования некоторого функционала A[f] по
пространству функций /. Ядро В(|г - г'|) непосредственно связано с
бинарной функцией ^(г):
J В (| г - г' I) ? (| г' - г" |) dr' = б (г - г"). (2.4)
Коль скоро нас интересует область хвоста плотности состояний, вклад в
р{Е) для таких энергий может проистечь лишь от конфигураций U(г), в
которых имеются не слишком узкие ямы глубиной не менее |?|. Подобные ямы
вносят большой вклад в фигурирующий в (2.2) интеграл, при котором стоит
знак "минус", т. е. они весьма маловероятны. В этих условиях вероятность
того, что в данной яме ниже рассматриваемого уровня имеется
S 2. МЕТОД ОПТИМАЛЬНОЙ ФЛУКТУАЦИИ 155
какой-то еще, пренебрежимо мала. Иначе говоря, основной вклад в р(?)
происходит от нижних, основных уровней в ямах. Поскольку уровней с такими
энергиями мало, все такие ямы можно считать изолированными друг от друга.
Это означает, что мы вправе исследовать задачу о нахождении вклада от
одной отдельной ямы, в которой основной уровень E0[U{r)] = Е. Искомая
величина р(?) равна плотности вероятности флуктуации U(г), обеспечивающей
