Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ОО
п [ф] - 5 Р (¦?) nF (Е) dE, По = п [ф] |ф_о. (17.6)
о
При Г = 0 мы имеем п - п0 = ^ р (Е) dE =
Го
= ефр {Fq) + у (еф)2 р' (Е0) + ~ (еф)3 р" (Еп) + ...
В случае (16.17) первые два слагаемых в правой части (17.7')
обращаются в нуль и экранирование оказывается существенно
нелинейным. Фактически, однако, всякий опыт производится при конечной
температуре. Соответствующая поправка к правой части (17.7) легко
находится по общим правилам вычисления фермиевских интегралов в условиях
сильного вырождения [17] и составляет (с точностью до экспоненциально
малых членов)*) (я2/6) р"(Fo)eqiT2.
*) При вычислении следует учесть, что температурная поправка к уровню
Ферми в случае (16.17) дает вклад высшего порядка малости по сравнению с
сохраняемыми нами членами (см. § 18). Мы пренебрегаем также возможным
изменением плотности состояний с температурой (Т С ?).
(17.7)
(17.7')
138 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Введем обозначения
ro2 = 4fT2P"(Fo), a = ^p"(F0). (17.8)
Тогда уравнение (17.1) принимает вид (при гф 0)
У2Ф - Гд2(р + "ф3. (17.9)
В слабом поле, когда
(ефТ)2 <1, (17.10)
в правой части (17.9) доминирует первое слагаемое*). При этом для
потенциала остается в силе обычное дебаевское выражение; роль дебаевского
радиуса, однако, играет величина г0.
Полагая ф == - ехр (- г/г0) и подставляя это выражение в
(17.10), получаем условие применимости линейной теории экранирования в
рассматриваемой задаче:
е6 г2
2д-р- р" (Fo) -рг ехР (- 2r/r0) <С 1. (17.10')
В левой части (17.10') фигурирует безразмерный параметр, который будет
встречаться и в дальнейшем:
ri = -Jp"(Fo). (17.11)
В типичных условиях он невелик. Так, полагая для оценки е = 10,
p"(Fo)= 1022 см~3 эВ-3 (это, видимо, завышенное значение), мы
получаем г) = 0,1. В этом случае неравенство (17.10')
удовлетворяется уже при г = гд.
При меньших расстояниях, когда выполняется неравенство, обратное (17.10),
в правой части (17.9) доминирует второе слагаемое. Полагая
ф = U (г)/г
и пренебрегая первым слагаемым в правой части (17.9), мы получаем
U" = a (U3/r2). (17.12)
При г -оо интересующее нас решение должно удовлетворять стандартным
условиям:
Er - - -jfi- -"- + 0, 17->0. (7.13)
*) Неравенство (17.10) лишь по форме совпадает с известным условием
применимости теории Дебая в задаче об экранировании невырожденным
электронным газом.
§ 17*. ЭКРАНИРОВАНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ МЯГКОЙ ЩЕЛИ
139
С другой стороны, при г = 0 мы не вправе накладывать вытекающее из (17.2)
обычное для точечного источника условие
Действительно, в уравнении (17.12) точка г = 0 - особая, и мы можем
требовать лишь ограниченности решения при г-"-0.
Решения соответствующего вида легко найти прямой подстановкой. При г-*- 0
и г-* оо мы получаем, соответственно*),
Здесь Г\ и г2- постоянные; первое решение имеет смысл при г <С г\, второе
- при г " г2.
Причина очень слабого убывания функции U(r) (а потому и потенциала) при
г-"- оо понятна: при уменьшении потенциала нелинейное экранирование резко
ослабляется.
Заметим, однако, что в применении к уравнению (17.12), взятому само по
себ'е, выражение "на бесконечности" вообще лишено точного смысла.
Действительно, указанное уравнение инвариантно относительно изменения
масштаба длины. По этой причине невозможно, оставаясь в рамках только
этого уравнения, определить, например, постоянную г2. Ее можно найти,
лишь рассматривая более общее уравнение (17.9).
Заметим, далее, что в нашей задаче ситуация в области малых г,
описываемая решениями (17.14), оказывается физически
неудовлетворительной. Действительно, согласно первой из формул (17.14)
напряженность электрического поля при г-+0 есть
Согласно (17.14) при U > 0 мы имеем г\ > 0. Следовательно, знак Е, при г-
"-0 оказывается противоположным тому, который должен получиться на
бесконечности. Легко убедиться, что так же обстоит дело и при уточнении
первой из формул (17.14) путем учета следующих членов разложения по г/г\\
в области достаточно малых г напряженность поля, будучи отрицательной,
монотонно возрастает по модулю с ростом г. В то же время при г-*- оо
величина Е, оказывается положительной и монотонно убывает с ростом г. Это
означает, что где-то в промежуточной области значений г напряженность
электрического поля, согласно уравнению (17.12), должна обратиться в
бесконечность. Та же трудность возникает и при г\ < 0 (неправильным
оказывается знак функции U(r) при г->0).
*) Уравнение (17.12) исследовалось (Ж. Калуччи, 1976) в связи с одной
модельной задачей квантовой теории поля.
U (0) = е/е.
(7.13')
Er = - dy/dr = - ar/2>r\.
140 гл. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Фактически появление такой сингулярности означает лишь, что мы выходим за
пределы применимости как решения (17.14), так и самого разложения
(17.7'). Действительно, последнее оправдано, лишь если
еф <§; Е.
В противном случае надо пользоваться непосредственно выражением (17.7).
Характер экранирования при этом будет зависеть от вида плотности
