Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
указанное условие можно записать в виде
В сильно легированных (в том числе и компенсированных) полупроводниках
появляется еще дополнительный фактор, способный вообще исключить
возможность существования экситона как стационарного состояния. Это -
экранирование кулоновского взаимодействия свободными и связанными
зарядами. В случае экситона Ваннье - Мотта мы имеем здесь буквально ту же
задачу, что и при рассмотрении мелких доноров [13]. При уменьшении
радиуса экранирования г0 энергия ионизации уменьшается и в конце концов
обращается в нуль, когда г0 становится сравнимым с радиусом экситона.
Очевидно, первые три эффекта приводят к ограничению времени жизни
экситона. Влияние их должно быть особенно заметным в случае экситонов
Ваннье - Мотта, характеризующихся сравнительно небольшой энергией
ионизации. С другой стороны, у экситонов Френкеля энергия ионизации,
видимо, слишком велика, чтобы "удары второго рода о случайное поле" могли
заметно на них повлиять; распад этих экситонов за счет второго из
указанных выше факторов возможен, видимо, лишь при довольно специальной
форме плотности состояний в запрещенной зоне.
Рассмотрим задачу о распаде экситона Ваннье - Мотта в слабом случайном
поле за счет "ударов второго рода". Ограничимся при этом простейшей
моделью: будем считать, что во вспомогательной задаче (§ 8) законы
дисперсии электрона и дырки - простые параболические с минимумами в
центре зоны Бриллюэна. Допустим также, что время жизни экситона
относительно рассматриваемого распада значительно меньше, нежели
относительно рекомбинации, и пренебрежем последним эффектом. Уравнение
Шредингера для рассматриваемой системы двух квазичастиц есть
={- -S7Ъ ~ Ъ -17(г. - ь) + и"" + и,(V>) 'г- os.i)
Здесь тп, тр и г", гр - эффективные массы и радиус-векторы электрона и
дырки, a F(r" - гр) и Un(r"), Up(гр) суть, соответственно, энергии
взаимодействия электрона и дырки друг с дру-
126 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
гом и со случайным полем. Удобно ввести координаты Якоби
тп г" + трГр тп + тр тптр '¦п + tnj
ции экситона М = тп-\- тр. Тогда уравнение (15.1) примет вид
ih^ = (H0+U)4. (15.1')
r = r"-rp> R= ПтРР. (15.2)
а также приведенную массу m - т и массу центра инер
тп "г мр
Здесь
dt
(15-3>
t/=?/"(R + -^r) + t/"(R-^r). (15.4)
Оператор U(г, R) мы будем рассматривать как возмущение, вызывающее
переходы между собственными состояниями оператора Н0 - состояниями
системы без случайного поля.
В соответствии со сказанным выше интерес представляют условия, в которых
радиус экранирования достаточно велик, а потенциальная энергия носителей
заряда достаточно плавно изменяется в пространстве (точный смысл
последнего выражения будет указан ниже - см. текст после формулы (15.12)
и формулу (15.13)). Следовательно, в качестве У (г) можно взять обычное
кулоновское выражение (в материале с не слишком большой долей ионной
связи оно содержит полную диэлектрическую проницаемость е). Далее,
функцию U(г, R) можно разложить в ряд по степеням первого аргумента,
полагая
U(г, R) = ?/"(R) + UP(R) + (г, VRUn(R) - jf VrUp (R)). (15.5)
Третье слагаемое в правой части (15.5) описывает связь между внутренними
и внешними степенями свободы. Именно через него и выражается искомая
вероятность распада экситона.
Пусть в начальный момент экситон находится в основном состоянии.
Соответствующая волновая функция есть
= (ла^-1/2ехр(- г/ав) (2лй)-3/2ехр (рд) , (15.6)
где ав = г%2/те2 - боровский радиус экситона, а р,--импульс центра
инерции. Соответствующая энергия, отсчитанная от энергии состояния, в
котором свободные электрон и дырка покоятся на бесконечном расстоянии
друг от друга, дается выражением
Е=-Ев + р2/2т. (15.7)
Здесь Ев - те4/2г2Н2 -- боровская энергия экситона.
Y"p (г'
§ 15. ЭКСИТОН В НЕУПОРЯДОЧЕННОМ ПОЛУПРОВОДНИКЕ 127
Нас интересует вероятность перехода в состояние, в котором экситон
диссоциирован. Соответствующие волновая функция и энергия Е{ суть
Wf = ф (г) (2лй)-3/2ехр (i- pf r) , (15.60
?f=?Bx2+ p2/2M. (15.70
Здесь ф(г)- волновая функция непрерывного спектра, pf -
квазиимпульс центра инерции экситона в конечном состоянии, к -
безразмерное квантовое число, непрерывно изменяющееся от нуля до
бесконечности.
Расчет искомой вероятности производится по стандартным формулам квантовой
механики. Результат надо усреднить по всем возможным значениям компонент
начальной скорости экситона рi/M и по случайному полю. В первом
неисчезающем приближении вероятность перехода выражается через квадрат
оператора возмущения. Соответственно введем функцию
= (iг)2 ^ и" <г")> + йг)2 ^ Up ^ ~
- ^{Vn (ГО иР (П + иР (гО иа (г")>. (15.8)
Очевидно, это есть не что иное, как обобщение обычной бинарной
корреляционной функции (§ 7) на случай двух типов носителей заряда. Мы
будем считать функцию ЧСр изотропной: 4% = Wnp(| г' - г"|). Тогда для
усредненной указанным выше образом и отнесенной к единице времени
вероятности перехода мы получаем
