Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
оо
с - 4я ^ х2 dx z4 (х). (2.27)
о
Значение с можно определить численными методами или путем приближенного
решения уравнения (2.25). К этому вопросу мы вернемся ниже.
В более общей постановке эта задача решалась в указанных выше работах. В
работе И. М. Лифшица (1967) было исследовано поведение плотности
состояний для системы с большой флуктуирующей концентрацией примесных
атомов - источников короткодействующего потенциала. Статистика
конфигураций концентрации примеси бралась не обязательно гауссовой. В
работе Б. И. Гальперина и М. Лэкса (1966) рассмотрено гауссово случайное
поле, обусловленное высокой концентрацией заряженной и экранированной
примеси, так что бинарная функция имела вид (II. 7.37а):
Y(r) = t|>1e~r/b. (2.23
где go = г0 - радиус экранирования.
В этих условиях из (2.176) вытекает, что Uo (хг0) =
= const ^ dx' х'у2(х'){е~\*~х' 1(х +х' + 1) - (| х - х'
| + 1)},
(2.29)
где х = r/ro, х' = г' I г о. Уравнение (2.16) с функцией UQ из (2.29)
решалось численно для различных соотношений между энергией Е и
параметрами ijii, го. Результат для 1пр(?) таков: зависимость lnp(?) ~ Vl
? I (сравните с (2.26)) с ростом |?| плавно переходит в более сильную,
когда неравенство (2.19) перестает удовлетворяться. В области | Е | >
> I ЕI > Й2/2т|о
мы имеем
_ln^L = ^L. (2.30)
Ро 2i|>i ' '
§ 2. МЕТОД ОПТИМАЛЬНОЙ ФЛУКТУАЦИИ
159
Последний результат для асимптотического хода плотности состояний не есть
следствие аппроксимаций: как показано Л. А. Пастуром (1972), он
оказывается математически строгим в довольно общих предположениях.
Возвращаясь к исследованию уравнения с самосогласованным потенциалом
(2.16), отметим, что оно выражает собой условие минимума положительно
определенного функционала:
\-&\dr (г"2-Н*^(г)Т
Q[y( r)] = -^fb)---------------J-------(2.31)
^ dr dr' y2 (r) IF (| r - r' |) у2 (r')
В этом нетрудно убедиться, непосредственно варьируя функционал (c)[</(!•)]
по у (г). Использование этого функционала представляет определенное
удобство, поскольку с его помощью приближенное решение (2.16) легко найти
прямым вариационным методом. Это было проделано (Р. Эймар, Г. Дюрафур,
1973) для бинарной функции вида (2.28) с использованием простейших
однопараметрических водородоподобных пробных функций ф0~ехр(-ш).
Результаты для плотности состояний, полученные столь несложным образом,
оказались весьма близкими к полученным Б. И. Гальпериным и М. Лэксом
(1966) путем громоздкого численного расчета.
Как уже упоминалось в § 1 настоящей главы, под функциональными методами
здесь понимаются конкретное интегрирование по пространству случайных
функций U(г) и интегрирование по траекториям в фейнмановской лагранжевой
записи квантовомеханической функции Грина. Можно, однако, вместо второй
из этих операций проводить функциональное интегрирование по пространству
волновых функций ф(г). Понятно, что эта процедура эффективна лишь тогда,
когда интеграл можно приближенно вычислять по методу перевала. Так,
например, ограничиваясь пространством вещественных функций ф(г) в области
больших по модулю Е, удобно рассмотреть следующий функционал:
X [ф (г), U (г)] = L [ф (г), U (г)] + S[U (г)], (2.32)
где
L [ф (г), U (r)]=="g~- ^ dr ^Ф)2 + ^ dr и (г) Ф2 (г)-¦Е 5 dr Ф2 (г)-
(2.33)
Он выбран таким образом, что при заданном распределении U(г) точка
стационарности L по ф дает решение обычного уравнения Шредингера, а
величина -5 [[/(г)] есть логарифм вероятности реализации Г/(г). Определим
теперь точку стационар-
160 гл. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИИ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
ности функционала Я одновременно по переменным ||ф(г)|Р =
= ^dri])2(r) и полю U(г). Результат для (/о (г) совпадает с
(2.176), а значение Яо в найденной таким образом точке перевала совпадает
с функционалом (2.31), уже, очевидно, не содержащим 0 и не зависящим от
нормировки у{г).
§ 3. Функция корреляции уровней
Метод оптимальной флуктуации, описанный в предыдущем параграфе, был
развит для расчета одной из существенных характеристик системы -
плотности состояний р(Е). Она, однако, зависит лишь от одной
энергетической переменной Е. Между тем бывают важны задачи, при решении
которых оказывается необходимо усреднять по случайному полю выражения;
зависящие от характеристик сразу двух или большего числа уровней. К числу
таких задач относится, например, расчет электропроводности вещества.
Таким образом, надо ввести плотность вероятности того, что вблизи точек
R' и R" возникнут потенциальные ямы, содержащие, соответственно, уровни в
интервалах АЕ' и АЕ" около точек Е' и Е". Обозначим эту величину через
р2 (Е', Е"\ R', R") АЕ' АЕ". (3.1)
Тогда среднее (по случайному полю) значение любой функции F, зависящей от
энергий и центров локализации двух уровней, можно записать в виде
<F>=$dR'dR" р2{Е', Е"\ R', R")FAE'AE". (3.2)
Е', Е"
Если в функции F существенны лишь достаточно малые разности уровней, на
которых величина р2 практически не изменяется, то суммирование по Е' и Е"
можно заменить интегрированием. При этом
