Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
искомые функции if! и ф2 таким образом, что последние также оказываются
ортонормированными. Как уже отмечалось, условия нормировки функций (4.15)
не обязательны и приняты для удобства. Более интересна роль вариационного
параметра ц,
§ 4*. ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ УРОВНЕЙ В ГАУССОВОМ ПОЛЕ 167
характеризующего смешивание атомных функций. Минимизацию функционала Q по
этому параметру гибридизации удается выполнить аналитически (А. Г.
Миронов, 1976). Мы приведем результаты расчета.
Рассмотрим для конкретности случай 6-корреляции (П.7.37в):
ip (г) = Фа6 (г). (4.20)
При этом фигурирующие в функционале Q (см. (4.10)) интегралы щ и
Jn с функциями (4.15) просто, хотя и громоздко
вычисляются аналитически, и минимизировать надо явную
функцию
параметров 71, у2, ц и R. Эта минимизация осуществима уже лишь численно,
и мы приведем только результаты для случая близких энергий Е' и Е".
Именно, положим
? = | (?' + ?"), А - <4-21)
и будем считать, что Yi = Y2==Y и
А < 1 (4.22)
(фактически рассматривались значения А <0,15). Далее, введем безразмерное
расстояние
* = Y R- (4.23)
Расчет показывает, что характер гибридизации атомных волновых функций
оказывается своеобразным: оптимальный параметр гибридизации г|0
определяется следующими соотношениями:
а) на больших расстояниях
cos 2т]о (х) = А/к (.v) < 1, х > х0) (4.24)
б) на малых расстояниях
cos 2т]0 (л:) = к (х)/А < 1, х < х0. (4.25)
Здесь Хо - корень уравнения
к (х0) - А; (4.26)
функция %{х) вычислена численно при х < 4, а при х>4 в пренебрежении
членами ~е~2х мы имеем
к (х) = 2е~* (а'2/3 - 2х + 10 - 6/х). (4.27)
Правая часть (4.27) при 4 < х < 8 удовлетворительно аппрок-
симируется следующим простым выражением:
к (х) " 4,3 ехр (-а/1,3). (4.28)
Таким образом, мы имеем
*0(А)" 1,31п(4,3/А). (4.29)
168 гл. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИИ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
При х>т0 каждая из волновых функций г|ц(г) и -ф2(г) практически совпадает
с атомной, включая лишь экспоненциально малую добавку от "чужой" ямы. При
х " х0 функции if>i и if>2 становятся равными, соответственно,
симметричной и антисимметричной линейным комбинациям атомных функций и
%2-В обеих указанных ситуациях параметры и у2 близки друг к другу и к
оптимальному значению уо{Е) для "одночастичной" задачи:
Уо(?)=л/бТ?Т- (4.30)
Наконец, при дальнейшем сближении ям, при х < х0, гибридизация атомных
орбиталей снова уменьшается, но начинает возрастать общий для г|ц и if>2
параметр у.
Результаты в аналитической форме удается получить лишь для больших
значений х (х^4) и Д< I. В этом случае явная зависимость 'Р от А
отсутствует - разность энергий определяет лишь степень гибридизации
атомных функций. Мы имеем в указанной области
W (Е', R)*W (Е, х) = 1-е~2Х ~ Tx3 " I *2+2х+ 1 - |) .
(4.31)
Более наглядны результаты численного расчета, представленные в виде
таблицы (см. табл. III).
Таблица III
x = yR #Vl Е 1 -In'? 0,75 0,344 0,45 1,0 0,428 0,35 1,25 0,510 0,25
1,5 0,594 0,22 2,0 0,681 0,17 2,5 0,774 0,13
x = yR R^\E\ -In'? 3,0 0,971 0,072 3,5 1,18 0,038 4,0 1,59 0.011
4,5 1,82 0,0053 5 2,03 0,0026 6 2,46 0,0007
Очевидно, на расстояниях R ^ 4у0"~1 (Е) корреляция уровней уже
пренебрежимо мала. С другой стороны, на меньших расстояниях она заметна
и, очевидно, обусловлена в первую очередь квантовомеханическим
"отталкиванием" уровней - перекрытием волновых функций; поскольку
оптимальная флуктуация U0 выражается через квадратичные комбинации ф] и
ф2, характерные "размеры" ям вдвое меньше радиусов локализации волновых
функций.
§ 5*. ФУНКЦИИ ГРИНА В ВИДЕ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА 169
§ 5*. Представление функции Грина в виде континуального интеграла
Рассмотрим направление исследований, связанное с представлением функций
Грина в виде интегралов по траекториям [36, 37]. Возможные преимущества
этого метода видны из следующих соображений.
Во-первых, в любой из задач об электроне в случайном поле мы сталкиваемся
с двумя на первый взгляд разнородными проблемами. Необходимо решить
квантовомеханическую задачу о вычислении той или иной физической величины
(например, одночастичной функции Грина) при заданной потенциальной
энергии электронов. Далее надо выполнить статистическое ее усреднение по
ансамблю случайных полей, что сводится к континуальному интегрированию с
весом &[U]. Однако такое четкое разделение расчета на два этапа не всегда
удобно и не всегда нужно. Дело в том, что при усреднении по случайному
полю различные его конфигурации входят с разным весом; поэтому часть
информации, получаемой на квантовомеханическом этапе решения задачи,
может оказаться ненужной.
Во-вторых, две названные выше проблемы только кажутся разнородными.
Действительно, в рамках развитой Фейнманом лагранжевой формулировки
решение квантовомеханической части задачи также сводится к континуальному
интегрированию. Отличие от усреднения по случайному полю состоит лишь в
использовании другой меры в функциональном пространстве.
Заметим, что само по себе фейнмановское представление для функции Грина
