Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
U0(г) - составляют вместе точку стационарности функционала
X[U(r), Ф1 (г). -Фг (г)] =
= S[U (г)] + L [Е', U (г), ф, (г)] + L [Е", U (г), ф2 (г)]. (4.2)
При этом функционал 5 определен формулами (2.2), (2.6),а
L [Е, U (г), ф (г)] = \dr {| (Vi|>)2 + [U (г) - Е\ ф2 } • (4.3)
Здесь и далее в этом параграфе использована система единиц, в которой Й =
т = 1. Волновые функции т|ц и ф2 в функционале (4.2) не нормированы, но
должны удовлетворять очевидному требованию ортогональности
^ dr Ф1 (г) фг (г) = 0. (4.4)
Очевидно, уравнения Лагранжа при варьировании X по ipi и фг дают
соответствующие уравнения Шредингера. Удобно, однако, начать с
использования третьего из условий стационарности X, отвечающего равенству
нулю вариации функционала X по случайному полю U(г). Это сразу дает
выражение для оптимальной флуктуации [/0(г) через искомые волновые
функции фи (г) и ф2(г):
С/о (г) = - ^ dr' Ф (I г' - г I) [Ф? (г') + ф2 (г')]. (4.5)
Таким образом, остается найти фи и фг, удовлетворяющие условию (4.4) и
такие, чтобы определяемая ими потенциальная энергия (4.5) имела две ямы
на расстоянии R друг от друга. Используя (4.5), преобразуем функционал
(4.2):
ф2]. Фь Ф2] - Фг]. (4.6)
Х[\И, ^2] =
= - j \ dr dr' |>2 (г) + г|>2 (г)] W (| г - г' |) [ф? (г') + (г')] +
+ S dr [i (V*D2 + Т W2 ~ ?/4l - • (4.7)
§ 4*. ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ УРОВНЕЙ В ГАУССОВОМ ПОЛЕ 165
Здесь полезно отметить, что первое слагаемое в правой части выражения
(4.7), взятое с обратным знаком, дает искомую величину (4.1):
-In р2(Е', R) = S [t/0 (г)] =
= | J dr dr' [ф? (г) + ф* (г)] W (| г - г' |) [ф? (г') + ф* (г')]. (4.8)
Теперь функция р2 выражена через волновые функции г|ц и фг, на которых
стационарен функционал Z (4.7). Можно было бы решать систему двух
нелинейных уравнений типа Шредингера, отвечающую условиям стационарности
Z, однако удобнее использовать прямой вариационный метод. Прежде всего,
подобно тому, что было сказано в конце § 2, найдем точку стационарности
функционала Z по переменным it гр t II и II гр 2II (нормам указанных
функций. При этом мы явно используем то обстоятельство, что функционалы X
и Z построены на ненормированных волновых функциях. Возникающая система
уравнений для амплитуд волновых функций без труда решается. После
подстановки найденных значений в соотношения (4.7) и (4.8) мы получаем
min Z[\|)b гр2] = Q [гр1; ф2] = - In р2(Е', Е"; R), (4.9)
И ll>l II, II Фг II
Q14,(г). 4,(г)] = + ^ (4 10)
1 12 11 J22
Здесь
Oi (r0] = \dr [j (v^02 - • (4-10
^2 № W] = S dr [t (v^2)^ - - (4 -12)
hi №> ^2] = T S dr'dr" <r'> ^ (I - r" I) (O. (4.13)
Основное преимущество, достигнутое при переходе к функционалу Q, состоит
в том, что он непосредственно дает логарифм искомой условной вероятности
р2(Е', Е"; R) в результате минимизации его по формам произвольно
нормированных функций фи и фг. Действительно, функционал Q положительно
определен; легко убедиться, что он не сингулярен и по способу получения
не зависит от нормировки функций фп и фг- Далее, легко видеть, что
функционал Q допускает правильный предельный переход к случаю R-4-оо.
Действительно, сравнивая (4.10) с (2.31), мы видим, что
Q (?', Е"Д) 0 (?') + 0 (?") = - In р (?') - In р (?"). (4.14)
166 гл. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИИ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Наконец, принятый нами вариационный подход удобен и в том отношении, что
он позволяет естественным образом учесть требование должной локализации
волновых функций. Именно, минимизацию Q следует проводить на классе
пробных пар функций, нужным образом локализованных, скажем, в точках R' =
О и R" = R. Тогда оптимальная флуктуация потенциальной энергии Uо (г)
(4.5) будет обладать двумя ямами. В соответствии со сказанным в § 2, при
отыскании интересующих нас решений вполне удовлетворительным приближением
могут служить простые водородоподобные функции. Однако в настоящей
задаче, в связи с наличием двух ям, надо использовать линейные комбинации
двух таких "атомных" функций, локализованных в точках R' = 0 и R" - R.
Иными словами, искомые волновые функции будем искать в виде линейных
комбинаций функций е~у'г и e-^ir-Ri, причем вариационными параметрами
будут служить коэффициенты этих линейных комбинаций и длины убывания: уГ1
и Y^"1- Естественно, названные вариационные параметры должны
удовлетворять условию ортогональности (4.4). При явном расчете были
использованы следующие выражения для 1|п и г|з2:
Ь (г) = Xi (г) cos т] - х2 (г) sin ц,
Фг (г) = Xi (r) sin ц + %2 (г) cos ц;
л/2 (1 + s)
&(г) = [ф2(Г) - Ф1 (г)];
V2 (1 - s)
(4.15)
(4.16)
(4.17)
<Pi (г) = (Yi/^)'/2e~v,r,
Ф2 (г) = I г-r |.
^ Ф2(г)йг = ^ ф2(г) dr= 1; (4.18)
" = jj Ф1 (г) Ф2 (г) dr. (4.19)
Очевидно, функции ф] и ф2 суть просто атомные функции, нормированные и
локализованные у двух разных центров, находящихся на заданном расстоянии
R друг от друга. Функции xi и %2 представляют собой симметричную и
антисимметричную их комбинации; они также нормированы и, сверх того,
взаимно ортогональны. Параметр гибридизации т] определяет вклад %i и %2 в
