Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕМПЕРАТУРА
521
§ 4. Электронная температура
В зависимости от роли столкновений между носителями заряда по сравнению с другими механизмами рассеяния выделяются различные предельные случаи. Рассмотрим сначала материал с носителями заряда одного типа. Обозначим через хее среднее время между столкновениями носителей заряда друг с другом. В силу близости эффективных масс носителей заряда при таких столкновениях происходит заметный обмен как квазиимпульсом, так и энергией. Следовательно, время хее характеризует скорость обоих этих процессов. Могут иметь место три предельных соотношения между временами хее, хе и тр:
tee'^tp (4-1)
Т„ (4.2)
^,^ее' (4.3)
В случае (4.1) носители заряда успевают многократно обменяться энергией и импульсом до того, как сыграет свою роль рассеяние их на фононах или иных несовершенствах решетки. В случае (4.2)
это относится только к обмену энергией. Наконец, в случае (4.3)
рассеяние носителей заряда друг на друге-вообще не играет роли и им можно пренебречь.
Рассмотрим ситуацию, характеризуемую неравенствами (4.1). Тогда газ носителей заряда можно рассматривать, в первом приближении, как самостоятельную термодинамическую подсистему, лишь слабо взаимодействующую с решеткой. Столкновения между носителями приводят к установлению равновесия по энергии и импульсу внутри данной подсистемы. Это означает, что в данном случае, во-первых, имеет однозначный смысл представление о температуре электронов Те, отличной, вообще говоря, от температуры решетки Т, и, во-вторых, Систему носителей заряда можно характеризовать скоростью V,?, с которой все они движутся как целое относительно решетки. В сущности, мы имеем здесь то же, что и при движении жидкости или газа в сосуде. Роль последнего играет неидеальная решетка, а роль «жидкости» — система носителей заряда. По этой причине рассматриваемсе приближение часто называют гидродинамическим.
Функция распределения / (р), зависящая от параметров Те и V,# должна обращать в нуль интеграл столкновений (XIII.ЗЛ1). При vrf = 0 это означало бы, что / (р) есть функция Ферми, в которой надо лишь заменить температуру Т на Те. Так же обстоит дело и при уd Ф 0, если рассматривать функцию распределения в системе отсчета, в которой электронный газ как целое покоится. Переходя к системе отсчета, связанной с кристаллической решеткой (в которой электронный газ движется); мы должны заменить v на
522
ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ
[ГЛ. XVI
v — v<*. Тогда
/ (р) =. {ехр g (т-у —^ +1. (4.4)
Здесь энергия носителя заряда Е рассматривается как функция его скорости v (р).
В отсутствие фермиевского вырождения равенство (4.4) принимает вид
/(р) — ехР F~Ekf~Vf,)'-
Выражение, фигурирующее в правой части (4.5), называется максвелловским распределением с дрейфом.
Пусть скорость дрейфа мала по сравнению с характерной «тепловой» скоростью носителей заряда vTe = VkTelm. Тогда правую часть (4.5) можно разложить в ряд по степеням vj , и мы получаем выражение вида (2.3), причем теперь
fs — ехр (4.6)
fa Lexp F~^(v) . (4.7)
Величины F, Те и \d в формулах (4.4) — (4.7) остаются пока произвольными. Согласно сказанному в § 3, учет одних межэлект-ронных столкновений (без процессов переброса) в принципе не позволяет найти Те и \а. Для определения стационарных значений дрейфовой скорости и электронной температуры в пространственно однородной системе удобно воспользоваться уравнениями баланса
(3.1) и (3.2). Действительно, поскольку функция распределения в рассматриваемом случае известна, можно, задавшись теми или иными механизмами рассеяния энергии и импульса (гл. XIV), вычислить времена %е и %р. Они оказываются теперь функциями'vrf и Те, а уравнения баланса превращаются в систему уравнений относительно названных переменных:
(48)
s>=4»- <«>
Обратимся теперь к ситуации, характеризуемой неравенствами
(4.2). Здесь, как и в предыдущем случае, газ носителей заряда достигает равновесия по энергиям за время порядка хес, т. е. задолго до того, как станет заметным обмен энергией между электронами и решеткой. Это означает, что в данных условиях представление об электронной температуре по-прежнему имеет однозначный смысл: по отношению к энергии газ носителей заряда можно
ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕМПЕРАТУРА
523
рассматривать как почти независимую термодинамическую подсистему. Симметричная часть функции распределения (в системе отсчета, в которой электронный газ как целое покоится) здесь имеет прежний вид (4.6). Однако выражение (4.7) для антисимметричной части в условиях (4.2) оказывается уже несправедливым, сколь бы малой ни была дрейфовая скорость. Действительно, по отношению к импульсу газ носителей заряда в условиях (4.2) отнюдь не образует независимой подсистемы. Рассеяние импульса здесь происходит в основном на несовершенствах решетки, в результате чего сам вид антисимметричной функции распределения оказывается зависящим от механизма рассеяния. Эту функцию здесь следует определять с помощью уравнения' (2.7). При этом интеграл столкновений Ja [/], определяющий скорость рассеяния импульса, можно вычислять, пренебрегая межэлектронными столкновениями; рассеяние на несовершенствах решетки здесь, как и в слабом поле, часто можно считать абсолютно упругим *). В частности, при рассмотрении стационарного состояния системы с изотропным законом дисперсии остается в силе выражение (XIII.6.11), в котором надо лишь заменить J на Ja, a f1 — на fa:
