Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В отсутствие нагрева электронного газа функция fs превращается в равновесную функцию распределения /„ (?), a fa—в малую добавку fv
Представление функции распределения в виде (2.3) имеет ясный-физический смысл. Именно, антисимметричная часть fa (р, ?) описывает возникновение потоков заряда, энергии и т. д., а симметричная часть fs (р, Щ связана с функцией распределения носителей
заряда по энергии / (?). Так, для средней энергии на один элек-
трон мы имеем
<?>=Wh-W)f*(',’e>‘iI’- (2-4)
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
519
Далее, обозначим через оР+ (Е, АЕ) и (Е, АЕ) отнесенные к единице времени вероятности того, что электрон с энергией Е, соответственно, получит и потеряет в акте рассеяния энергию АЕ, Тогда
d(A?)(^_(?, АЕ)-3Ь+(Е, Д?))] dp.
(2.5)
Таким путем, зная функцию распределения, можно вычислить время релаксации те. Соответствующие расчеты можно найти в книгах [1, 2].
Подставляя выражение (2.3) в кинетическое уравнение (XIII.3.12) и разделяя в нем слагаемые, четные и нечетные по р, мы получим систему двух интегро-дифференциальных уравнений для определения двух функций fs и fa. Замечая, что производная от четной (нечетной) функции есть нечетная (четная) функция своего аргумента, имеем (в отсутствие магнитного поля, при F = — еЩ
%- + (V, V/a) + (F, Vp/a) = Js[/], (2.6)
¦%- + (v, V/,) + (F, Vpfs) = Ja[f\, . (2.7)
где Js и Ja — четная и нечетная (относительно изменения р) части интеграла столкновений.
Пусть рассеяние носителей заряда происходит только на несовершенствах решетки (включая фононы). Тогда, поскольку электронный газ не вырожден, интеграл столкновений дается выражением (XIII.3.10), в котором разность 1 —¦/ (р) можно заменить единицей. Изменим знак аргумента р в (XIII.3.10) и одновременно произведем замену переменной интегрирования р' = —р". При этом коэффициенты и аР2, будучи функциями только аргументов (XIII.6.4), останутся неизменными. Следовательно, интеграл J [/] изменит или сохранит свой знак в зависимости от того, содержит ли он функцию fs или /а:
JsU) = J[fsl Jа [/] ~ J \fа]- (2.8)
Такая простая форма связи между Js, Ja и fs, fa обусловлена тем, что в рассматриваемом случае функция распределения входит под знак интеграла столкновений линейно. Если существенно фермиев-ское вырождение газа носителей заряда или рассеяние последних друг на друге, то соотношения между Js, Jа и fs, fa оказываются более сложными.
Теоретическое исследование нагрева электронного газа в полупроводниках сводится, таким образом, к решению уравнений (2.6) и (2.7) при различных механизмах рассеяния носителей заряда.
520
ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ
[ГЛ.. XVI
§ 3. Уравнения баланса
Исследование системы уравнений (2.6) и (2.7) составляет весьма сложную математическую задачу. Лишь в последние годы были развиты численные методы ее решения с помощью современных электронно-вычислительных машин. По этой причине часто оказываются полезными более простые соотношения, выражающие законы сохранения энергии и квазиимпульса. Они представляют собой не что иное, как уравнения баланса для названных величин и могут быть строго выведены из кинетического уравнения [1,2, 4]. Особенно простой вид эти соотношения принимают, когда газ носителей заряда пространственно однороден и состояние его стационарно. Действительно, при этом полная энергия и полный квазиимпульс носителей заряда не должны меняться со временем, а потоки, связанные с пространственными градиентами каких-либо величин, отсутствуют. Следовательно, условие постоянства полной энергии носителей имеет вид (1.2). По определению дрейфовой скорости vrf (гл. I) плотность тока можно записать в виде
j = en\d.
Соответственно вместо (1.2) мы получим
~ (Е) — kT
e(vrf,S)=^—----------. (3.1)
le
Как и в предыдущих главах, дрейфовую скорость можно записать в виде
V„ = ~J-TA (3.2)
где /па — эффективная масса электропроводности (XIII.7.15). Необходимо лишь иметь в виду, что среднее время релаксации импульса тр теперь следует вычислять, принимая во внимание нагрев электронного газа, т. е. с помощью уравнений (2.6) и (2.7), в которых функция fs отлична от /0. Так, в рамках изотропной модели тр теперь дается выражением (XIII.7.16) с заменой /0 на fs.
Соотношения (3.1) и (3.2) называются уравнениями баланса. Следует помнить, что входящие в них времена хе и хр описывают обмен энергией и квазиимпульсом между носителями заряда, с одной стороны, и кристаллической решеткой — с другой. При учете только межэлектронных столкновений без процессов переброса эти времена обращаются в бесконечность: внутренние сщш приводят только к перераспределению энергии и квазиимпульса между носителями, заряда, но не’изменяют полную их энергию и полный квазиимпульс. Вместе с тем, влияя на вид функции распределения, взаимодействие между носителями заряда косвенно влияет и на значения хе и хе, равно как и на форму их зависимости от юйм-пературы, напряженности поля и т. д.
