Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Математически предположение об упругости рассеяния выражается тем, что коэффициенты (р', р) и (р, р'), фигурирующие в интеграле столкновений, отличны от нуля лишь при Е (р') = = Е (р). В то же время интегралы от и аР2 по р' должны быть отличны от нуля. Этим требованиям можно удовлетворить, полагая
<^(р', р) = 8[Е(р') — Е (р)] S (р', р),
0>2(р, р') = д[Е (р') — Е (р)] S (р, р'), * ' ’
где S (р', р), S (р, р') — некоторые функции, б [Е (р') — Е (р)] —¦ дельта-функция Дирака *). Действительно, согласно свойствам 6-функции интегралы от величин (6.1), умноженных на функцию распределения /, во-первых, отличны от нуля и, во-вторых, содержат только значения / и 5 при Е (р') = Е (р). В гл. XIV выражения (6.1) будут получены явно. При этом, в силу принципа детального равновесия (4.7),
5(р', р) = S (р, р').
Подставляя выражения (6.1) в правую часть (3.10), мы получаем
y^ = -(wSS(P’ Р')6[?(р)-?(р')]{/(р', г)-/(р, г)} dp'. (6.2)
Итак, предположение об упругом характере рассеяния привело к тому, что искомая функция распределения вошла под знак интеграла столкновений линейно.
Дальнейшего упрощения интеграла столкновений можно добиться, приняв во внимание свойства симметрии изоэнергетических
*) См. Приложение IV.
420
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ.. XIII
поверхностей. Рассмотрим простейший случай, когда названные поверхности не вырождены и изотропны, т. е. представляют ссбо,й сферы *)
? = ?(р2). (6.3)
При этом функцию Е (р2) можно обратить; соответствующая обратная функция есть р2 (?).
Заметим, что по своему физическому смыслу функция S (р, jf) есть скаляр. Следовательно, она может выражаться лишь через скалярные комбинации векторов р и р'.
В рассматриваемом случае их- пять:
Здесь 0 = р, р' есть угол рассеяния.
При упругом ’рассеянии последние две из величин (6.4) оказываются одинаковыми. Далее, в силу (6.3) р2 = р'2. Таким образом, остаются только два независимых скаляра; в качестве таковых удобно взять энергию Е — Е (р2) и cos 8:
Итак, условия упругости рассеяния й изотропии невырожденных изоэнергетических поверхностей привели к тому, что функция
5 оказалась зависящей не от пяти, а только от двух аргументов; при этом один из них в процессе рассеяния остается неизменным.
В дальнейшем, при рассмотрении квантовомеханической части задачи (r/r. XIV), коэффициенты будут явно вычислены для
ряда механизмов рассеяния. Мы непосредственно убедимся тогда в справедливости формул (6.1) и (6.5) в разных конкретных случаях.
Оказывается, однако, что для решения статистической части задачи при малых отклонениях от равновесия специализация вида функции S (Е, cos 0) не требуется. Достаточно представить функцию распределения в виде (5.1).
В соответствии с § 1 ограничимся учетом членов, линейных по
6 и V7\ Легко сообразить при этом, как должна зависеть функция /х от ?, V71 и Si. Надо лишь принять во внимание, что есть скаляр, ё и VT — векторы, а 53 — псевдовектор. Рассмотрим сначала те же три частных случая, что и в § 1.
а) Носители заряда в постоянном и однородном слабом электрическом поле. Поскольку функция /, должна быть скаляром, линейно
где ф (Е) — пока неизвестная нам скалярная функция энергии носителя заряда.
Р2> Р'2. (P, p') = pp'cos0, Е(р2), Е (р'2). (6.4)
5(р, р') = S(?, cos 0).
(6.5)
(6.6а)
*) Предположение о параболичности закона дисперсии не обязательно.
ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ПРИ УПРУГОМ РАССЕЯНИИ
421
б) Носители заряда в постоянном и однородном слабом температурном поле. Здесь
fi = (p, V7V/i (?) + (P, (6-66)
где '/i и х» — неизвестные пока скалярные функции, а величина ?' связана с нагревом образца и с возможным перераспределением зарядов в нем. Фактически вектор S' не независим, а выражается через V7\ Связь между этими векторами, однако, определяется условиями опыта и удобнее здесь ее не специализировать.
в) Носители заряда в постоянных и однородных электрическом
и магнитном полях. Здесь имеются три независимых вектора:
S, [S х S3], (53, S)53. Соответственно мы имеем
/i = (Р. ?) 4i (Е) + (Р. [& X 53]) f 2 (?)'+ (р, 53) (53, б) г|73 (Е), (б.бв)
где -ф,., т|52 и фз — пока неизвестные скалярные функции. Они зави-. сят от энергии носителя заряда и, может быть, от величины <Ш2 *).
Аналогичные выражения можно написать и при наличии сразу и электрического, и магнитного поля, и градиента температуры или только магнитного поля и градиента температуры. В общем виде, следовательно, мы имеем
/1 = (р, %{Е)), (6.7)
где вектор | представляет собой линейную комбинацию векторов, характеризующих внешние воздействия. Скалярные коэффициенты в этой линейной комбинации зависят от Е и, может быть, от 3d2.
