Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, функция (5.1) с учетом (6.7) описывает состояние с отличными от нуля значениями плотности электрического тока и потока энергии. Действительно, /х, как и-у(р), есть нечетная функция квазиимпульса р и интегралы в правых частях (2.2) и (2.3) оказываются отличными от нуля. Вместе с тем средняя энергия носителей заряда (Е) в этом состоянии не отличается от равновесной. В самом деле,
^> = М^(Р)?(Р)Ф' (6’8)
Поскольку Е (р) есть четная функция квазиимпульса р, слагаемое /, не дает вклада в интеграл (6.8): в принятом приближении носители заряда получают от внешних полей и передают решетке только квазиимпульс, но не энергию**).
Подставим выражение (5.1) в интеграл столкновений (6.2) и примем во внимание равенство (6.5). В силу упругого характера
*) Как мы увидим в следующем параграфе, последняя возможность не противоречит условию (5.3).
**) Этот результат можно было предвидеть заранее, вспомнив, что джоулево тепло выражается через квадрат напряженности электрического поля.
422 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
рассеяния /0 (Е(р)) = /0 (Е (р')) и, следовательно,
J^=S-(W6(?(p)_jE(p'))S(?(p)’ coseH(P'- S)~(p> S)l- (6-9)
Интеграл по р' удобно вычислять в сферических координатах, направив полярную ось по вектору р. Полярные углы векторов р' и | относительно р обозначим, соответственно, через (0, ср) и; (a, (S), а вместо р' введем переменную Е' — Е (р'). Тогда
dp' = Р - dE' sin 6 • d% dcp, r v (E') T
где v (E') = | dE'/dp' |.
Введем плотность состояний по формуле (V.7.8a) и выполним интегрирование по Е' в (6.9) с помощью 6-функции. Получим
Я 2я
J[f]= N С dti • sin 6 • S (E, cos D) t dcp • (p cos (p', t) — p cosa).
811 3 6} (6.Ю)
Как известно из сферической тригонометрии,
cos (р', |) = cos 6 • cos a + sin 6 • sin a • cos (cp — P).
Подставим это выражение в правую часть (6.10) и проинтегрируем по tp. Получим
—тк- (6Л1)
где
я
-J— = ЛШ. J dQ ¦ S (Е, cos 6) (1- cos 6) sin 0. (6.12)
6
Очевидно, функция т (Е) не отрицательна. В частности, для электронов с квадратичным законом дисперсии мы имеем
-----------л
ТЩ~ = 2%^№Ес) Iм-s (е> COS 6) (1-COS 6) sin 6. (6.13)
о
Видим, что тг1 (Е) представляется в виде суммы двух слагаемых. Первое из них (отвечающее единице в круглых скобках под знаком интеграла) связано с интегралом «ухода» В (3.8), второе (отвечающее cos е в круглых скобках) — с интегралом «прихода» А
(3.7). Легко убедиться, что «приходный» член не играет роли, если S — четная функция cos Ф (или не зависит от Ф).
Функция х (Е), определяемая равенствами (6.12) или (6.13), имеет размерность времени и называется временем релаксации импульса. Для краткости мы будем опускать слово «импульса» всюду, где это не может повести к недоразумениям. Часто используется также термин «транспортное время релаксации».
ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ПРИ УПРУГОМ РАССЕЯНИИ
423.
Смысл термина «время релаксации» легко уяснить себе, рассмотрев частный случай, когда внешние поля отсутствуют и образец пространственно однороден (у/ = 0), но функция распределения все же имеет неравновесный вид (5.1). Так может обстоять дело, например, сразу после выключения (в момент Ь = 0) внешнего электрического поля. Естественно, такое состояние не будет стационарным и функция распределения будет изменяться со временем, постепенно приближаясь к равновесному своему значению. Действительно, кинетическое уравнение (3.12) в данном случае имеет вид
Константа С определяется начальными условиями и нас здесь не интересует. Видно, что величина х определяет время возвращения системы к состоянию равновесия.
Как будет видно из дальнейшего, время т (Е) есть не что иное, как время свободного пробега, введенное в § 2 гл. I. Здесь, однако, оно введено не ad hoc, а выведено — в определенных предположениях — из рассмотрения интеграла столкновений. При этом формулы (6.12) и (6.13) позволяют явно вычислять х как функцию энергии носителя заряда и экспериментально варьируемых параметров, коль скоро известна функция S (Е, cos б), т, е. ‘коль скоро решена механическая часть задачи.
Следует подчеркнуть, что предположения, в рамках которых получены простые формулы (6.11) и (6.12),— довольно жесткие. Прежде всего, изоэнергетические поверхности далеко не всегда изотропны (§§ III.8, III.9). Наоборот, энергия электрона чаще зависит не только от абсолютной величины квазиимпульса, но и от ориентации его относительно осей кристалла. В частности,так обстоит дело в германии и кремнии.В таких случаях кинетические свойства системы электронов характеризуются «временем релаксации», зависящим не только от энергии, но и от направления движения частицы относительно кристаллографических осей. Простая формула (6.12) при этом уже несправедлива. Иногда удается ввести три «времени релаксации», каждое из которых зависит только от энергии и соответствует потоку электронов вдоль «своей» кристаллографической оси. Далее, как будет показано в гл. XIV, существуют механизмы рассеяния, для которых предположение
