Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
дТ F
/« = -*ар (а)д^ + пвэ(в)/э—f/в- (1-26)
При этом аналог соотношения (1.1.18) следует писать в виде
Пар = 7’аар;
тензор аар, вообще говоря, не симметричен.
Таким путем вводятся все феноменологические коэффициенты, описывающие явления переноса заряда и энергии при достаточно слабых электрических полях и малых градиентах температуры. Способ явного их вычисления ясен из предыдущего.
§ 2. Кинетические коэффициенты и функция распределения
В теории явлений переноса нас интересует, как правило, поведение газа носителей заряда в условиях, когда электрохимический потенциал его сравнительно медленно изменяется в пространстве: изменение F на расстоянии порядка постоянной решетки очень мало. Согласно результатам § IV.4 носители заряда при этом можно рассматривать как частицы с законом дисперсии Et (р) и скоростьк» V/ — VpEi. Если, сверх того, электрохимический потенциал медленно меняется и на расстояниях порядка характерной длины волны носителя заряда, то систему свободных электронов (дырок) можно рассматривать просто как газ классически движущихся частиц, «упрятав» все квантовые эффекты в закон дисперсии Et (р). Главную' роль при этом играет представление о функции распределения носителей заряда по квазиимпульсам и координатам f (р, г). В применении к пространственно однородной системе в условиях равновесия мы уже пользовались этим представлением в гл. V. По определению средняя концентрация электронов проводимости в
КИНЕТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
407
элементе объема р-пространства dpjlpydpz = dp, содержащем точку р, дается выражением
р-г)^р- (2Л>
В силу (2.1) выражения для плотности тока и плотности потока энергии электронов можно записать в виде (опускаем индекс /):
Г)^Р- м
1=jv [? (р) - f (р> *¦) dp • (2-3)
Интегралы здесь берутся, строго говоря, по зоне Бриллюэна. Однако, в силу быстрого убывания функции распределения с увеличением энергии электрона, часто бывает возможно распространить их на все бесконечное р-пространство.
В условиях термодинамического равновесия правые части (2.2) и (2.3) обращаются в нуль. Формально это видно из того, что в указанных условиях / (р) = f0 (Е (р)). Функция /о имеет вид (V.3.1) и зависит только от энергии. Поскольку энергия есть четная функция квазиимпульса, а скорость v (р) — нечетная, интегралы от произведений /0v обращаются в нуль.
Факт нарушения термодинамического равновесия проявляется в изменении вида функции распределения. При этом она оказывается зависящей, вообще говоря, не только от энергии, но и от направления вектора р.
Таким образом, вычисление плотности тока и плотности потока энергии сводится к нахождению неравновесной функции распределения f (р, г) с последующим вычислением интегралов в правых частях (2.2) и (2.3). В зависимости от того, каким именно путем нарушено термодинамическое равновесие в системе носителей заряда, функция распределения их может иметь различный вид. По этой причине естественно искать не универсальное выражение для самой функции / (р, г), а универсальное уравнение, из которого она определяется и которое отражает как условия опыта, так и свойства материала. В рамках классической кинетической теории газов такая задача была поставлена и решена JI. Больцманом; ^дальнейшем его метод был обобщен А. Зоммерфельдом на предмет учета возможного вырождения электронного газа. Уравнение, полученное Больцманом, называется кинетическим. Метод расчета кинетических коэффициентов, основанный на его использовании, принадлежит к числу наиболее популярных и эффективных средств теории явлений переноса (условия применимости его обсуждаются в § XIV. 2),
408
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
§ 3. Кинетическое уравнение
Кинетическое уравнение представляет собой не что иное, как уравнение непрерывности в фазовом пространстве, координаты которого суть компоненты векторов риг. Чтобы написать это уравнение, выберем в фазовом пространстве некоторый фиксированный малый элемент объема, например параллелепипед со сторонами dx, dy, dz, dpx, dpy, dpz, и посмотрим, как изменяется число частиц в нем за бесконечно малый интервал времени dt. Будем при этом опускать слагаемые, содержащие высшие (начиная со второй) степени dt, dx, ..., dpz. По определению функции f в момент времени t число частиц (с данной проекцией спина) в параллелепипеде есть
dn — f(p, г, 0 (2яй)3 •
Спустя время dt это число будет
Л.'=/ (р. Г, t4- и> = {/<р, г, 0а} -Иг.
Разность
»'-*4w (31)
дает результирующий «приход» частиц с данной проекцией спина в данный элемент фазового пространства. Чтобы получить интересующее нас уравнение, надо независимо выразить левую часть
