Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
об упругом его характере не оправдано.
Задача о решении кинетического уравнения с учетом анизотропии изоэнергетических поверхностей или неупругости рассеяния связана с серьезными математическими осложнениями, и мы здесь не будем на ней останавливаться, Приближенную аналитиче-
Отсюда
(6.14)
/ — /о = Се~t/x <?>.
(6.15)
424
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
скую ее трактовку, справедливую в применении к кристаллам типа германия и кремния, можно найти в монографии [М73. В более сложных случаях кинетическое уравнение решают численными методами.
Несмотря на известную грубость принятых нами предположений, формулы (6.11) и (6.12) все же оказываются очень полезными. В ряде случаев они позволяют правильно указать зависимость кинетических коэффициентов от экспериментально варьируемых параметров, а также оценить порядок их величины. Дело в том, что анизотропия изоэнергетических поверхностей не всегда играет принципиальную роль. Зачастую учет ее приводит просто к появлению не слишком существенных численных коэффициентов. Более подррбно этот вопрос рассматривается в § 7 и в § XIV.6.
§ 7. Элементарные стационарные решения кинетического уравнения в случае малых отклонений от равновесия
Решение кинетического уравнения в условиях, когда справедливы неравенство (5.3) и соотношенйе (6.11), не представляет труда. В настоящем параграфе мы будем интересоваться только стационарными состояниями, в которых функция распределения / не зависит от времени. Это соответствует постоянным полям (или постоянному градиенту температуры), со времени включения которых прошло время, заметно превышающее' как время свободного пробега, так и максвелловское время релаксации.
Вновь рассмотрим по отдельности три случая, указанные в § 6. Ограничимся при этом материалами, пространственно однородными в отсутствие внешних воздействий (в частности, в отсутствие градиента температуры).
а. Статическая электропроводность, В рассматриваемом случае ¦ нет причин для возникновения зависимости функции распределения от координат, 3J = 0 и ?' = в.
Таким образом, кинетическое уравнение (5.4') с учетом соотношений (6.6а) и (6.11) принимает вид
еф, v)/S-(p, ?)| = 0. (7.1)
В изотропном случае (6.3) скорость v параллельна р. Положим
Рт=т(Е) v, (7.2)
где т (Е) — некоторая величина размерности массы. При квадратичном законе дисперсии это есть просто эффективная масса носителя заряда; при учете непараболичности она зависит от энергии.
Уравнение (7.1) теперь принимает вид
(7.3)
§ 7] СЛУЧАИ МАЛЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ РАВНОВЕСИЯ 425
Для краткости мы не выписываем здесь энергетические аргументы у функций т, г|) и т.
Поскольку угол между векторами р и S может быть произвольным, коэффициент при скалярном произведении (р, &) должен обращаться в нуль. Отсюда
'Ф = -~т:/5- (7.4)
Поскольку ти/о зависят только от Е, видим, что и как мы и предполагали, действительно зависит только от энергии,, но не о*г направления квазиимпульса. Для функции распределения мы имеем теперь, согласно (7.4), (6.6а) и (5.1),
f(p)=f0(E) + ~T(p, $)/;. (7.5)
Теперь легко раскрыть содержание неравенства (5.3) применительно к рассматриваемой задаче. Для этой цели надо заменить скалярное произведение (р, б) в (7.5) произведением абсолютных значений и потребовать, чтобы второе слагаемое в (7.5) было по абсолютной величине много меньше первого при всех существенных значениях р и Е. Это приводит к следующему неравенству:
¦Шт<и <7-б>
В случае невырожденного газа главную роль играют «тепловые» значения
р~рт^УМТ, vc^vT=YkT/m. (7.7)
Таким образом, условие (7.6) принимает вид
^rpT<kT, (7.8)
причем под х следует понимать значение функции т (?), взятое при Е ~ kT. Левая часть (7.8) по порядку величины представляет
собой не что инее, как энергию, получаемую электроном (дыркой)
от поля за время свободного пробега. Видно, что она должна быть пренебрежимо мала по сравнению со средней энергией носителя заряда, уже имеющейся у него в условиях термодинамического равновесия.
С помощью второй из формул (7.7) условие (7.8) удобно переписать в виде
е%т ____
426
кинетическая ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА
[ГЛ. XIII
Таким образом, принятое выше приближение оправдано, коль скоро дрейфовая скорость достаточно мала по сравнению с тепловой.
В случае полнрстью вырожденного газа главную роль играет область энергий Е ^ ?, где ? — уровень Ферми, отсчитанный от края зоны, а квазиимпульс и скорость следует заменить «фермиев-скими» их значениями == р (?) н v^ = v (?). Вместо неравенства
(7.6) при этом получается
~Г'РЪ<Ь (7.6')
