Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ
413
С другой стороны, сама величина D определяется быстрыми процессами рассеяния, формирующими функцию распределения и протекающими зачастую так, как если бы никакой диффузии не было.
Комбинируя теперь формулы (3.1), (3.3), (3.4) и (3.9), получаем уравнение для функции распределения:
-fr = -(v, V/) —(F. Vpf) + J[f}. (3.12)
Это и есть кинетическое уравнение. Интеграл столкновений J [f] дается здесь формулами (3.10) или (3.11) (или их суммой, если существенны оба вида рассеяния), а сила F — выражением (3.5).
Уравнение (3.12) написано для случая, когда имеются носители заряда только одного типа. При наличии нескольких типов носителей (электронов и дырок, «легких» и «тяжелых» дырок и т. д.) надо ввести свою функцйю распределения для каждого типа. Соответственно мы будем иметь столько кинетических уравнений вида (3.12), сколько есть таких типов. При этом в правой части формулы (3.12) появится сумма по всем типам частиц, на которых рассматриваемые носители заряда могут рассеиваться. Таким образом, если существенно взаимное рассеяние или превращение частиц разных типов, то мы приходим к системе связанных кинетических уравнений.
Уравнение (3.12)—интегро-дифференциальное; математическая задача о его решении становится определенной, лишь если задать еще граничные условия. Это, однако, удобно делать не в общем виде, а применительно к тому или иному конкретному случаю, и мы здесь не будем обсуждать этот вопрос.
Вывод кинетического уравнения завершает намеченную в предыдущем параграфе схему вычисления кинетических коэффициентов. Как видно из предыдущего, решение этой зада!чи делится на два этапа, которые несколько условно можно назвать «механическим» и «статистическим». Первый из них состоит в вычислении коэффициентов пропорциональности с^, т. е. вероятностей рассеяния при заданном механизме последнего. Второй этап состоит в решении уравнения (или уравнений) (3.12) при известных функциях а/\,
§ 4, Термодинамическое равновесие.
Принцип детального равновесия
Кинетическое уравнение, выведенное в предыдущем параграфе для произвольных неравновесных условий, сохраняет силу и в условиях термодинамического равновесия. При этом оно определяет равновесную функцию распределения /0. Последняя, однако, уже известна нам из равновесной статистической физики — это есть функция Ферми (V.3.1). Воспользуемся этим обстоятельством,
414 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
чтобы прийти к одному полезному соотношению между коэффициентами аРг И
Рассмотрим систему электронов в отсутствие внешнего электрического поля. Поскольку f0 не зависит от времени, уравнение
(3.12) принимает вид
- (V, V/0) - (F, Vp/0) + J\f0] = 0. (4.1)
При этом согласно (V.3.1)
/,-{«р[дм^-',]+1}''. <4-2>
где ф — электростатический потенциал, отличный от константы, если в условиях равновесия имеется искривление зон.
Обозначим через f'0 производную от /0 по энергии Е (р). Поскольку функция /о зависит от координат только через потенциал Ф, а последний входит лишь в комбинации Е (р) — еФ, мы имеем
V/0 = -e/;-Vq>. (4.3)
Далее, в силу (IV. 1.3)
Vp/0 = (Vp?(p))/S = v/;. (4.4)
Здесь принято во внимание, что в условиях термодинамического равновесия электрохимический потенциал F и температура Т не зависят от координат.
Сила F дается правой частью уравнения (3.5), где, в рассматриваемом случае,
S = _ Уф.
Следовательно,
(F, Vp/0) = e/;{(v, Vq>)-l(v, [vxSi])}. (4.5)
Последнее слагаемое в правой части (4.5) тождественно равно нулю. Это означает, что однородное магнитное поле само по себе не может нарушить равновесное распределение носителей заряда по квазиимпульсам.
Подставляя выражения (4.3) и (4.5) в уравнение (4.1), мы полу*-чаем
в (v, Vq>) f'o ~ е (v, Уф) ft + J [/0] = 0. (4.1')
Видим, что в условиях термодинамического равновесия «траивг ляционное» и «ускорительное» слагаемые в кинетическом уравнении взаимно уничтожаются. Это означает, что имеет место взаимная компенсация плотностей диффузионного и дрейфового токов (ср.
§ VI.3). Действительно, диффузионный ток обусловлен как раз
неоднородным распределением носителей заряда в пространстве, а дрейфовый — действием силы со стороны электрического поля,
§4
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ
416
Таким образом, уравнение (4.1) теперь принимает вид
J[fo] = 0. (4. Г)
Смысл этого равенства ясен: в условиях взаимной компенсации первых двух слагаемых в (4.1) число частиц в любом элементе фазового пространства может измениться только за счет столкновений *). Поскольку в рассматриваемых условиях функция распределения не зависит от времени, «приход» и «уход» частиц должны взаимно компенсироваться.
