Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
^1# $Л<Р'. РШР'. r)[l-f(P, г)]1^г = л (3.7)
Интеграл А определяется этим соотношением и описывает «приход» частиц в единичный элемент фазового объема в единицу времени.
*) Мы не указываем явно спиновые переменные, считая в случае необходимости, что они включены в р, р'. Естественно, при этом интегрирование, например, по р' включает и суммирование по двум соответствующим проекциям спина.
КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
411
Аналогично, выбирая состояние с квазиимпульсом р в качестве начального, а состояние с квазиимпульсо>1 р' — в качестве конечного, находим полное число частиц, уходящих за время dt из рассматриваемого элемента фазового пространства в результате столкновений:
Ilf S s\(p, Р'»(Р, Г)[1 -/<р\ гЯЖ? = В^. (3.8)
Интеграл В определяется этим соотношением и описывает «уход» частиц из единичного элемента фазового объема в единицу времени.
Комбинируя формулы (3.7) и (3.8), получаем полное изменение числа частиц в результате рассеяния:
\dn’ - dn)cmm = J т • (3.9)
Здесь
= Р)/(Р'> г)[1 —/(Р> г)]-
-^*(Р,Р')/(Р. г)[1-/(р', г)]}. (3.10)
Выражение в правой части (3.10) называют интегралом столкновений. Как мы видим, функция распределения входит в него, вообще говоря, нелинейно.
Коэффициенты ^ (р', р) и (р, р'), характеризующие темп рассеяния, имеют размерность см3/с. Они пропорциональны вероятностям соответствующих переходов. Иногда их представляют как произведения абсолютного значения скорости частицы до столкновения на эффективные сечения рассеяния с данными изменениями квазиимпульса (и, может быть, проекции спина). Для вычисления их надо задать конкретный механизм рассеяния — природу рассеивателей, энергию взаимодействия их с носителями заряда и т. д. — и решить соответствующую задачу динамики.
Заметим, что — в отличие от движения носителей заряда в плавных полях — процессы взаимодействия электронов и дырок с рассеивателями могут и не допускать классического описания. Таким образом, даже в случае плавно меняющихся полей на определенном этапе решения задачи о вычислении кинетических коэффициентов может оказаться необходимым использование методов квантовой механики. Это обстоятельство очень существенно для дальнейшего. Как мы увидим в гл. XIV, необходимость учета квантовых эффектов влечет за собой серьезное ограничение условий применимости метода кинетического уравнения.
В случае рассеяния носителей заряда друг на друге общая формула-(3.9) остается в силе, но явный вид интеграла столкновений изменяется, ибо теперь при каждом столкновении меняется состояние не одной, а двух частиц. Пусть квазиимпульсы частиц до столкновения равны р{ и р*, а после столкновения рх и р2.
412
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА {ГЛ. XIII
Подобно (3.6), число таких столкновений в единицу времени есть
#i(Pl, Ра! Pl> Рг) / (Рь г) (2лй)5' ^ Г) (2лЛ)3 Х
х11-/(Р..г)]Дг11-/(р,,г)]-^г.
где SP'x — коэффициент пропорциональности.
Полное число столкновений, связанных с приходом носителя заряда в рассматриваемый элемент фазового объема, получится отсюда интегрированием по pj, р2 и р^. Принимая во внимание еще обратный процесс («уход»), получаем
р*; р1’ра)х х/(Рь Г)/(р?, г)[1 —/(Pi, Г)][1-/(р2, г)]-—^2(Pi> р2; pi, рЭ/(р1, г)/(р2. r)[i-f(pi. r)][i-f(pj, г)]}. (3.11)
Коэффициенты аР2 пропорциональны вероятностям рассматриваемых актов рассеяния.
Наконец, изменение числа носителей заряда за счет рекомбинации или захвата можно было бы написать по образцу (3.10) — изменился бы только смысл коэффициентов и интегрирование
по р' заменилось бы (в случае захвата) суммированием по дискретным переменным, нумерующим различные квантовые состояния электронов на центрах захвата. Чаще всего, однако, рекомбинационные явления можно вообще не принимать во внимание при вычислении кинетических коэффициентов. Дело в том, что скорости процессов рассеяния и рекомбинации носителей заряда, как правило, резко различны. Как мы знаем (гл. IX), характерные рекомбинационные времена — порядка 10~8 10~6 с и более. С другой
стороны, типичное среднее время свободного пробега хр == (т) (см. § 1.2), характеризующее темп процессов рассеяния («частоту столкновений»), — порядка 10'11 ч- 10“13 с. Таким образом, можно считать, что рассеяние происходит при практически неизменном — безразлично, равновесном или неравновесном — числе свободных носителей заряда. С другой стороны, рекомбинация и захват становятся заметными лишь спустя длительное время после того, как процессы рассеяния (совместно с действием полей и т. д.) «сформируют» функцию распределения носителей по квази-импульсам. Это разделение процессов на быстрые (в данном случае — рассеяние) и медленные (в данном случае — рекомбинация или захват), протекающие практически независимо друг от друга, весьма характерно для кинетики. По существу, мы уже встречались с ним в гл. VII и Др., рассматривая диффузию носителей заряда и связанные с ней явления. Диффузия также представляет собой медленный процесс, характеризуемый коэффициентом диффузии D.
