Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(3.1) через функцию распределения /. Для этого надо явно указать процессы, приводящие к изменению числа частиц с данными координатами и компонентами квазиимпульса; именно при этом учитываются конкретные условия опыта.
Вообще говоря, число частиц в данном элементе фазового объема может измениться за счет.
а) перемещения в пространстве координат (трансляции);
б) действия внешних полей (т. е. ускорения частиц);
в) рассеяния на каких-либо несовершенствах кристаллической решетки или друг на друге («столкновений»);
г) рекомбинации и генерации носителей заряда (или захвата их локальными уровнями).
Для вычисления «трансляционного» вклада заметим, что перемещение частиц в пространстве можно рассматривать как совокуп-
Рис. 13.2. К выводу кинетического уравнения.
§3] КИНЕТИЧЕСКОЕ. УРАВНЕНИЕ 409
ность трех перемещений вдоль трех произвольно выбранных взаимно перпендикулярных осей координат. Очевидно (рис. 13.2), за время dt через левую грань параллелепипеда в него войдут все частицы (с данной проекцией спина), находившиеся в момент t на расстоянии не более Vxdt от этой грани и движущиеся направо; Число их есть
/(р, х, у, z, t) (3-2а)
Аналогично, число частиц, ушедших за это же время через правую грань, будет
/(р, x + dx, у, г, (3.26)
Разлагая выражение (3.26) в ряд Тэйлора по dx и вычитая его из (3.2а), получим результирующий «приход», связанный с движением частиц вдоль оси:
__ df dt dr dp
dx V* (2яй)3 '
Аналогично вычисляется и баланс числа частиц за счет перемещений по осям у и z.
Окончательно для изменения числа частиц с данной проекцией спина за время dt за счет перемещения их в пространстве координат находим
{dn' - </п)трансл = - (v, V/) (3.3)
Таким же образом можно вычислить и «ускорительный» член — изменение числа частиц в рассматриваемом фазовом параллелепипеде за счет действия сил, обусловленных электрическим и магнитным полями. Действительно, силы вызывают изменение квазиимпульса р, т. е. трансляцию в пространстве квазиимпульсов. Формально этот процесс описывается так же, как 5 трансляция в обычном пространстве; следует лишь заменить скорость v =
~ W на W и вместо градиента в пространстве координат
взять градиент в пространстве квазиимпульсов ур/. Итак,
(dn’ - dn)c?t = -(•?, Vp/) . (3.4)
При этом, согласно уравнениям движения (IV. 1.9),
-f- = F = -e?-y[vxSi]. (3.5)
Под S и сВ здесь следует понимать напряженность электрического и индукцию магнитного полей, мало изменяющихся на протяжении постоянной решетки. Как правило, в число их включаются поля,
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИИ ПЕРЕНОСА [ГЛ. ХШ
созданные внешними источниками (батареей, магнитом, электромагнитной волной и т. д.), а также поля, возникающие в результате перераспределения зарядов в образце при наличии внешних сил. Иногда сюда же включают и поля, созданные структурными дефектами того или иного типа; если эти поля достаточно плавно изменяются в пространстве,, то, в зависимости от характера задачи, их можно учитывать либо в уравнении (3.5), либо в выражении, описывающем рассеяние носителей заряда (в «интеграле столкновений»
(зло».
Обратимся теперь к изменению числа частиц в данном параллелепипеде за счет рассеяния («столкновений»). Рассмотрим сначала рассеяние носителей заряда на каких-либо несовершенствах решетки— «рассеивателях» (но не друг на друге). По смыслу дела столкновения изменяют только распределение носителей по квази-импулъсам (и, может быть, по проекциям спина), но не меняют непосредственно пространственного их распределения. С квантовомеханической точки зрения только такая постановка задачи и имеет смысл: рассеяние есть изменение состояния носителя заряда в результате взаимодействия с рассеивателями; состояние же характеризуется квазиимпульсом и проекцией спина. Таким образом, из аргументов функции распределения риг второй остается неизменным при рассеянии, а меняется только' первый. Пусть квазиимпульс носителя заряда до столкновения равен р', а после столкновения р *). Очевидно, число таких актов рассеяния в единицу времени пропорционально числу носителей в начальном состоянии и числу свободных мест — в конечном, т. е. оно имеет вид
0*1 (Р', Р)/й>'. r)[l-/(p, r)]-^g*. (3.6)
Здесь — коэффициент пропорциональности, могущий, вообще говоря, зависеть и от г. Строго говоря, величина могла бы зависеть и от напряженностей внешних электрического и магнитного полей. Очевидно, однако, что для этого последние должны быть сравнимы по величине с напряженностями атомных полей. Столь сильные внешние поля мы рассматривать не будем. Интегрируя
(3.6) по р' и умножая на dt, получим полное число носителей заряда, приходящих за время dt в рассматриваемый элемент фазового объема за счет столкновений: