Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
П-»-6(Е-$
(7.17)
тР = т(?).
(7.18)
В случае невырожденного газа, когда /0 ~ ехр . формула
(7.14) принимает вид
ОО
е о
(7.19)
о
Следовательно, интеграл в знаменателе (7.19) равен
(2m3)1/a (kT)>!l 2л3/' W
и мы получаем, заменяя в числителе и2 на 2Elm,
§ 7J СЛУЧАИ МАЛЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ РАВНОВЕСИЯ 429
Для дальнейшего нужно знать явную зависимость времени .релаксации от энергии. Как будет показано в гл. XIV, весьма часто эта зависимость 'оказывается степенной:
г (Е) = СЕГ, (7.21)
где величина С не зависит от энергии, а г — некоторая постоянная (значения ее для ряда механизмов рассеяния указаны в таблице 14.2). Подставляя выражение (7.21) в правую часть (7.20), мы получаем
ц = (kTy.' (7.20')
3 m V я
Здесь Г (г + 5/2) есть Г-функция Эйлера, определяемая равенством
СО
Г (х) — $ dy.
о
б. Термоэдс и коэффициент Пельтье. В соответствии с § 1 (п. б) рассмотрим случай, когда внешние электрическое и магнитное поля отсутствуют, но уТ Ф 0 и имеется поле 6' (§ 1 и § 6 (п. б)). При этом уравнение (5.4') с учетом (6.11) принимает вид
{(<?', V) + (V, VT)-?M^}/; = A. (7.22)
Подставляя сюда выражение (6.66) для /х и принимая во внимание соотношение (7.2), мы получаем
Х1 = ттг^’ ъ=ъ~К- <7-23>
Как мы и предполагали, Хх и зависят только от энергии электрона. Функция '/, имеет, как и следовало ожидать, тот же вид (7.4), что и функция if) в п. а; соответствующий вклад в плотность тока дается выражением (7.11). Для функции распределения находим согласно
(5.1)
/ = /о + Т^%-(P. vn+(p, (7.24)
Подставляя выражение (7.24) в формулу (2.2) для плотности тока и выполняя интегрирование так же, при выводе формулы (7.11), получим для плотности тока электронов
GO
\={-VT J v*(E)N(E)^frdE+ ... , (7.25)
О
где многоточием обозначено слагаемое, содержащее, (р, б'); оно имеет вид (7.11) с заменой S на в'.
Величина ? в (7.25), как и всегда, отсчитывается от края зоны проводимости. При этом, поскольку перед интегралом уке имеется
430
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
множитель VT, а градиент электрического потенциала в данном случае отличен от нуля лишь за счет градиента температуры, учитывать искривление зон при вычислении ? не следует. Сравнивая (7.25) с равенством (1.2), находим фигурирующий там феноменологически введенный коэффициент а и, по формулам (1.6) и (7.12), дифференциальную термоэдс а:
1
J Ev2Nxf'0 dE
kT
(7.26)
Аналогичная формула справедлива и для тока дырок — с очевидной заменой скорости, плотности состояний, функции распределения и химического потенциала на соответствующие «дырочные» величины. Это означает, в частности, что ? надо заменить на —Eg >— ? (ср. § V.4). При параболическом законе дисперсии, когда и2 = = 2Е/т, выражение (7.26) с учетом (V.2.3) принимает вид
си
I о
dE
kT ^ kT, °°
$ Е3/2 x/J dE о
(7.27)
Это — так называемая формула Писаренко.
Первое слагаемое в фигурных скобках зависит только от равновесных характеристик системы, второе же определяется и механизмом рассеяния.
Рассмотрим формулу (7.27) в частных случаях невырожденного и полностью вырожденного газа носителей заряда.
В первом из них мы получаем
а = —
^ ?5-'2 т ехр (— Е/kT) dE
kT
kT
J Е3/* т ехр (— Е/kT) dE
(7.28)
Второе слагаемое в фигурных скобках есть некоторое безразмерное число, зависящее от вида функции х (Е). Обычно оно—порядка единицы. Так, в случае (7.21) это отношение составляет
г (/¦+7*)
г + 5/а,
т, е,
Г {r + Vz)
«==-“{- 5/У}*
(7.2 8')
СЛУЧАИ МАЛЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ РАВНОВЕСИЯ
431
а
Выражения в фигурных скобках формул (7.28), (7.28'), очевидно, положительны: в отсутствие вырождения ? < 0.
С другой стороны, обращаясь к дырочному образцу, мы должны были бы, в соответствии с § IV.2, изменить знак перед kte, Иначе говоря, для дырок мы имеем
(7-28,,)
Выражение в фигурных скобках вновь положительно.
Таким образом, знак дифференциальной термоэдс определяется знаком заряда доминирующих носителей.
В случае полного вырождения аппроксимация (7.17) оказывается недостаточной. Действительно, полагая
/; = _6(?-?), мы получили бы из (7.27)
1 ?,/2т(0
kT ‘ kT ?3/“ T(S)
