Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. Отклик системы на внешнее электрическое поле
и градиент температуры
Уравнение баланса (3.18) описывает релаксацию системы к равновесному состоянию в отсутствие внешних полей, когда гамильтониан имеет вид (3.3). При наличии внешнего поля соответствующий гамильтониан (2.10) можно представить в виде суммы двух частей — диагональной и недиагональной по индексам Я:
HF='Lr^a+a,+ ? (Л|Г|Я'К%- <4Л)
Здесь
П = (Я|Г |Я) (4.2)
есть средняя потенциальная энергия электрона в действующем поле в состоянии Я. Очевидно, первое слагаемое в (4.1) можно объединить с гамильтонианом Яе из (2.15). Учет его сводится к перенормировке энергий ?*,:
ЕК->ЁК = ЕК + ГК. (4.3)
Таким образом, учет диагональной части гамильтониана (4.1) сводится просто к замене энергий Е% в выражениях (3.18), (3.19)
§ 4. ОТКЛИК СИСТЕМЫ НА ВНЕШНЕЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
207
на перенормированные энергии Е\. Роль диагональной и недиа-тональной частей (4.1) существенно различна в случаях локализованных и делокализованных состояний. В последнем случае учет недиагональных членов необходим — обычная форма полевого члена в кинетическом уравнении получается как следствие сингулярности матричного элемента (Х\Т\Х') при X = X' (в случае плоских волн в однородном поле он пропорционален производной от 6(р — р'))> а диагональные члены, согласно (3.7), взаимно компенсируются. Для локализованных состояний ситуация относительно проще: соответствующие матричные элементы в ^-представлении регулярны и в рассматриваемом диагональном приближении основной вклад учитывается заменой Ея, на Ех. Действительно, недиагональные члены дают следующий вклад в левую часть (3.8):
Е {(X, | Г | Ц — (X, | Г | X) (afatf?)). (4.4)
Нетрудно убедиться в том, что вклад (4.4) мал по сравнению с правой частью уравнения (3.8) при условии малости параметра
ё' = {ЦГ\кг)!Ё (4.5)
(при ХфХ'). Этот параметр может быть мал даже в весьма сильных полях. По этой причине в большинстве случаев при рассмотрении влияния внешнего электрического поля на локализованные электроны достаточно ограничиться учетом «классических» сдвигов энергии полем (4.3). При учете переходов в область делокализованных состояний это приближение становится недостаточным, ибо тогда уже нельзя просто опустить недиагональные матричные элементы (kjT \к').
Рассматривая перенос по локализованным состояниям, мы будем ограничиваться учетом диагональных матричных элементов потенциала Т. При этом роль внешнего поля сводится к перенормировке энергий (4.3) в кинетическом уравнении (3.18). Это уравнение нелинейным образом зависит от действующего поля; усложнение, связанное с учетом перераспределения зарядов во внешнем поле, делает задачу о решении кинетического уравнения чрезвычайно сложной даже для простейших модельных систем.
Ситуация упрощается, когда электрическое поле слабое. В этом случае можно провести линеаризацию уравнения (3.18). Пусть
bfx = L-nF{Eh) (4.6)
есть малая неравновесная добавка к равновесной функции
(3.22), связанная с приложенным к системе внешним электрическим полем. Считая величины 6f\ и Т% малыми одного порядка
208 ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
и ограничиваясь линейными членами, получаем для выражения, стоящего в фигурных скобках в правой части (3.18)
« (П - П') пР (Ех) [1 -пР (ЕЛ -
- ^ - *V)(А) Г1 - Пр (?„)] + W^np (Ек)[1 - Пр (?Г)] х
ч,Г Уу 6к' , ^ 1- .
A L nF (Ч» 1 - nF (ЕХ') nF (%) nF (Ч) J
= -(П- Тг;) Wхх'Пр (?,) [1 - Пр (?,')] X чЛ 1 дПр{Ех) , 1 gM5lM ,
*lM?x) дЕХ ‘I_1-«f(^) дЕХ ) +
+ Wxx'tip (Ех) [1 пр (?V)] | —
V(?x) 1~пр(ек)
6f. / 6f. / 1
" М^Т~ Г (4,7)
Здесь через обозначена вероятность перехода, определяе-
мая выражением (3.19), в котором величины Е% заменены на Е%. При преобразованиях (4.7) мы использовали условие детального равновесия
W7%x'nF (Е}) nF (А)]= Wмир (?’>/) [ 1 — Пр (?*,)], (4.8)
справедливость которого непосредственно видна из выражений
(3.19), (3.22).
Введем обозначение для темпа переходов
Г«/ = WU/nF (А) [1 nF А)] (4.9)
и заметим, что
1 дпР(Е.) 1 дп„(ЕЛ 1
М^Г дЕ% + !-М^) дЕХ = “ ТППА)[1 ~ Пр (В,)]. Тогда выражение (4.7) приводится к виду
Г Г»' ~ *V + tip (?,) [1 -пр (?,)] ~ пр (?,,)[! -пр (?,,)]} • <4Л0)
Величины
(4Л1)
определяемые этим соотношением, входят в выражение (4.10) подобно локальным сдвигам химического потенциала в центрах
