Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Разобьем сумму в (5.7) на недиагональную (с %Ф%') и диагональную (с % = V) части:
j (к, со) = /(1) (к, со) + /2) (к, со) =
==~'Т" Z аи/(к)б/и/(®)--Т-ЕМк)бМи) (б-8)
Ш я
(Х'ФХ)
{щ. (к) = аи (к)).
Вклад недиагональных элементов матрицы плотности можно найти, подставляя в (5.8) выражение для б/АА/(со), полученное из уравнения (3.23), в правую часть которого добавлены слагаемые
(5.9)
связанные с внешним электрическим полем. Выражения (3.24), пропорциональные g2, дают вклад в /(2)(к, со), содержащий произведения трех недиагональных матричных элементов типа (Я | х | Ai) {куФК U Ф^и Х'фк2). Этим вкладом
можно пренебречь, когда функции ^я(х) сильно локализованы.
§ 5*. ПЛОТНОСТЬ ТОКА В Х-ПРЕДСТАВЛЕНИИ
215
Остается лишь вклад от слагаемых (5.9), который можно записать в виде
/»(к, и) = - el X au, (к) (tin >.) ¦ (5.10)
ш
{кфк')
В последнем выражении можно выполнить предельный переход k-*-0, замечая, что для малых k в области локализованных состояний au,(k) s» —ik{%\х\Х') (ось Ох направлена вдоль вектора к). Отсюда для средней плотности тока
i(l) (со) = -jj ^ d\f1] (х, со) = lim/(1) (к, со)
имеем
Е (Я*1У)Р.'|УШ) ^]~+йЕ+<. ¦ <6-п>
кк' К к -г -г
(кФХ')
Это — бесфононный вклад в проводимость. В рассматриваемой сейчас задаче он обращается в нуль при со-»-0. Мы обсудим этот вклад более подробно в § 11.
Обратимся теперь к диагональной части /(2)(к, со), описывающей в рассматриваемом случае перескоки между локализованными состояниями с участием фононов. Согласно (5.4) для локализованных состояний мы имеем
a,(k)=Jrfxe ikx|^(x)|2«e-ik\ (5.12)
Последнее приближенное равенство справедливо, если функция i|5jl(x) достаточно сильно локализована вблизи точки R*. Если теперь воспользоваться кинетическим уравнением (4.13), то выражение для /(2)(к, со) можно переписать в следующем виде:
Р (к, „)_-«,? ьк <») = _ * X ф iu, (ш) =
X XX’
е V* e~ikxk — e~ikx>-' . , ч
= “ Т L ----------Tk------1м(ш)- (5‘13)
XX'
Представим последнее соотношение в виде
1-(2) /. ч V е~1кхЪ — е~1кхК а . \- / \
} (к, со) = е 2^-------~k--------6 (>v ~ (“)
XX'
216
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
и выполним обратное преобразование Фурье. Усредняя по сечению, получим
/2) (х, О = --|-?0О-*0 6 (*v - х) iKV W = ikk, (/).
М/ K<S
(5.14)
\<s
v>s
Здесь символы Я, < 5 и V >¦ 5 обозначают центры, локализованные, соответственно, слева и справа от плоскости, перпендикулярной оси Ох, а 5 — площадь поперечного сечения образца. Выражение (5.14)—неявное, оно связывает плотность тока с парциальными потоками 4,v> которые следует определять, решая кинетическое уравнение. Заметим, однако, что выражением
(5.14) пользоваться удобнее, чем формулами (5.1) или (5.8), поскольку при наличии стационарного тока величины г’и' остаются конечными в термодинамическом пределе для всех «внутренних» состояний системы.
Выражение для плотности тока через сумму парциальных потоков, пересекающих некоторое сечение S, можно переписать и в ином виде, через сумму парциальных потоков по всему объему Q (для макроскопически однородной системы). Для этого
л
Т
X,
В)
Рис. 14. К выводу выражения для плотности тока по локализованным состояниям: а) изолированная система; б) «открытая» система.
усредним выражение (5.14) по всевозможным положениям поперечного сечения 0 ^ х ^ L:
/12)(/) =
L
= ^ ' (х, /) dx = 77 У] 9 (хк, — (L0 (—хк) 0 (хк, L) +
о U'
+ *у0 (~ хх) 9 (L ~ Ч) 0 (хх) +
+ (L - хх) 0 (х,) 0 (хк. — L) 0 (L — хк) +
(% ~ х\) ® (л:0 ® л:я')} ~ ~2ii Z (,хъ ~ х%)
U'
§ 5*. ПЛОТНОСТЬ ТОКА В ^-ПРЕДСТАВЛЕНИИ
217
Здесь Q = SL — объем системы, сумма берется по всем состояниям, локализованным в этом объеме, а последнее приближен-ное равенство в (5.15) записано в предположении, что макроскопический размер системы L намного превышает характерное расстояние перескока.
Полученные выше формулы для плотности тока по локализованным состояниям можно сделать более наглядными, рассматривая простую изолированную систему локальных центров, разделенную на две части А и В плоскостью х = дго, перпендикулярной оси Ох (рис. 14, а). Уравнение непрерывности, записанное для подсистемы А, имеет вид