Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
значений t — Qu,- Если эта область меньше характерного времени релаксации т, определяемого кинетическим уравнением, то в подынтегральном выражении (/') можно заменить на
(/), и вместо (3.16) имеем
dt
V
где
t
^=-?- ? Iв^' I2 ф*" Re Sdt' exP - o]=
7/ -»
=-г ? II2 ф!?/>б ^ + ("1}/ A<B«1 (3-19)
qt
Величина есть не что иное, как вероятность однофононного перехода между состояниями X и X'. Используя выражение
(3.13) для <рW), выражение (3.19) можно записать в виде
sign {Ех-Ех,) и' ~ - ехр {- (ЕК - ЕК,)/Т) w* ’ (3-20)
где множитель
=-f sien (А ~ A) ZI I2 (-6 [я* - А + (- D' /4] =
Ч\
= "Т ? I12 в (1А — А' I — h®q) (3.21)
не зависит от температуры. Тем самым в выражении (3.20) явно выделена температурная зависимость вероятности перехода.
Кинетическое уравнение (3.18) описывает эволюцию диагональной части матрицы плотности в отсутствие внешнего поля. В рассматриваемом нами случае переноса по локализованным состояниям это уравнение не содержит обычного диффузионного члена. Диффузионный ток, однако, можно вычислять с помощью уравнения (3.18), накладывая соответствующие граничные условия и учитывая изменение функции /*. в пространстве. Для малых градиентов концентрации это изменение можно описать, вводя координатную зависимость энергии Ферми (см. § 4).
В области локализованных состояний уравнение (3.18) имеет простой смысл: оно описывает баланс электронных переходов
f 3, КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
205
между локализованными состояниями. Отметим, что, как и следовало ожидать на основании принципа детального равновесия, правая часть (3.18) обращается в нуль, если в качестве /*, взять равновесную функцию Ферми*)
(?*) = { 1 + ехр ^ ~ } . (3-22)
Справедливость проведенного разложения определяется применимостью условия (3.9). Используя уравнение (3.4) и расцепление типа (3.11), для недиагональных элементов матрицы плотности /U' (кф\') получаем уравнение
0'^ ~dt ^ — А') ^и'=
<
=-1Ев^«.г \ {ft('')('-к<о)ф»>—
Я|/ -оо
- /я, (О (1 - к (О) ф V] ехР [/Qu, - О] -
- [К (0(1 - /v (О) Ф'У) - /г (О (1 - /я, (О) Ф(-У>] X
X ехр [/Qvv (/ — О]}* (3.23)
Из этого уравнения в марковском приближении получаем
t 1 у п-я f к 0 ~ к) v'J* ~ к, С1 ~ Ь)
_ ’> О ~ ''>¦’) Фз ~ 'V 0 ~ ^ | (?. ^ (3.24)
ЕК-Е%, + (-\)! h<s>q )
Матричные элементы Bln в рассматриваемом случае пропорциональны не только безразмерной константе электрон-фо-нонной связи, но зависят и от перекрытия волновых функций состояний X и К'. Соответственно малость недиагональных элементов первой матрицы плотности по сравнению с диагональными определяется условием
Й/х < Е. (3.25)
Здесь Е есть характерная разность энергий локализованных состояний, отвечающая наиболее вероятным прыжкам, а т-1 — ха-
*) Заметим, что при учете динамической корреляции между электронами с противоположными спинами, попавшими на один и тот же локальный центр, вид равновесной функции заполнения состояний, вообще говоря, будет отличным от (3.22). Так, в пределе сильной корреляции в функцию (3.22) следует ввести фактор вырождения, аналогичный возникающему обычно в теории примесных локальных уровней в запрещенной зоне (см. ниже, § 13).
206
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
рактерная частота прыжков. Величины Е и т, вообще говоря, зависят от условий опыта и природы системы. Из соотношений
(3.18), (3.19) видно, что время т обратно пропорционально квадрату константы электрон-фононной связи и квадрату интеграла перекрытия волновых функций центров.
Как_и в теории плотных газов Н. Н. Боголюбова, условие t Ь/Е определяет кинетический этап эволюции, когда становится возможным сокращенное описание поведения неравновесной статистической системы с помощью одночастичной матрицы плотности [43]. В отличие от условия применимости уравнения Больцмана, в котором Ё есть характерная энергия частиц (Т или F), здесь Е — порядка изменения энергии при переходах. Отметим далее, что релаксация рассматриваемой неупорядоченной системы на кинетическом этапе может и не быть экспоненциальной; кинетическое уравнение дает возможность описания переходных процессов и на этой стадии, коль скоро t %/Е. Лишь при достаточно больших временах релаксация приобретает экспоненциальный характер и может быть описана единым временем релаксации т0. Неравенство t т0 определяет переход к гидродинамическому этапу эволюции, когда становится возможным дальнейшее сокращение описания системы и переход к макроскопическим уравнениям для термодинамических переменных — плотности частиц и температуры.
