Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Определенное таким образом ^-представление отличается от узельного представления в идеальной решетке, основанного на использовании функций Ваннье. Последние образуют полную систему локализованных функций, которые не являются собственными функциями гамильтониана и не отвечают определенной энергии. Функции г|^ (х) — собственные функции гамильтониана задачи, отвечающие собственным энергиям Е\, однако они локализованы, вообще говоря, не при любых энергиях, а лишь в определенной области спектра собственных значений Е%. Кроме того, точки локализации функций г|п(х) случайны, а вид функций меняется при переходе от одного состояния к другому. Это создает дополнительные трудности при работе с функциями фл(х), особенно в тех случаях, когда оказывается недостаточным ограничиться асимптотическим их поведением на больших расстояниях от точки локализации.
Возможен и другой подход, основанный на выборе в качестве базиса системы функций, аналогичных атомным орбиталям в методе сильной связи (X. ВеттГер, В. В. Врыксин, 1975) . Пусть
§ 2. ГАМИЛЬТОНИАН В Х-ПРЕДСТАВЛЕНИИ
197
потенциальную энергию в гамильтониане можно представить в виде суммы членов, отвечающих отдельным центрам (узлам) или отдельным потенциальным ямам: V =X,Vm(x), где т —
т
номер центра (для простоты здесь не учитывается спин). Пусть, далее, атомные орбитали Фт^(х) представляют собой решения уравнения
^т)Фт5(х) = ?т5Фт5(х), (2.3)
где —гамильтониан с потенциальной энергией Vm{x), а индекс ? нумерует собственные состояния уравнения атомного типа (2.3). Заметим, что волновые функции фт^ разных ям не-ортогональны — соответствующие интегралы неортогональности
^ Фmi (х) Ф/n'S' отличны от нуля при т ф т!. При рассмо-
трении явлений, обусловленных глубокими флуктуационными уровнями, обычно бывает достаточно ограничиться только основным состоянием в каждой яме (§ III. 2). Пусть это состояние описывается волновой функцией фт(х). Тогда в пространстве функций фт(х) гамильтониан Не в представлении вторичного квантования принимает вид
Яе = ? Ёта+йт + ? / (т, т') а+ат„ (2.4)
т тт
где а+, ат — операторы рождения и уничтожения электрона в состоянии фт>
Ёт = S Фт (х) ЯеФт <Х) йХ' (2-5)
а 1{т,т') есть обычный интеграл перекрытия:
/ (т, т') — J ф^ (х) Яефт, (х) dx. (2.6)
Если под т понимать лишь индекс центра локализации, то гамильтониан (2.4) оказывается уже усеченным — базисная система содержит лишь первые собственные функции уравнений
(2.3), отвечающие отдельным потенциальным ямам. Это обстоятельство может, однако, оказаться несущественным, если речь идет о глубоких локализованных состояниях, когда систему функций фт(х) можно приближенно рассматривать как полную. В этом случае функции тМх) в принципе можно приближенно представить в виде линейных комбинаций атомных орбиталей; обратный переход от функций фт(х) к ортонормированной системе функций ¦фя.(х) диагонализует гамильтониан (2.4). Если перекрытие соседних атомных орбиталей мало, то функция ^л(х). содержит лишь небольшую примесь атомных волновых
198
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
функций соседних узлов (с отличающимися энергиями). При этом матричные элементы, построенные на функциях г|з*,(х), близки к матричным элементам, вычисляемым с атомными орбиталями фт(х).
Использование той или иной базисной системы функций, коль скоро она полна, диктуется, разумеется, лишь соображениями удобства. В дальнейшем нам представляется более удобным работать с полной ортонормированной системой функций гМх) из (2.1), которые в области энергий Ev<C.E<C.Ec отвечают локализованным состояниям.
Запишем теперь полный гамильтониан системы в Я-пред-ставлении. Наряду со слагаемым (2.2) в него входят еще гамильтонианы взаимодействия электронов с фононами, друг с другом и с внешним полем, а также гамильтониан фононов.
Гамильтониан электрон-фононного взаимодействия в конфигурационном представлении запишем в обычном виде, линейном по нормальным координатам атомной матрицы Qq:
Не, ph = 2 Еq (х) Qq.
Я
Переходя к Я-представлению, получим
Яе> Рь = Z {B&aUx'bq + э. с.}. (2.7)
IX'q
Индекс q здесь обозначает совокупность квантовых чисел, характеризующих колебания решетки, для длинноволновых акустических колебаний это есть просто волновой вектор фонона (см. § II. 4); bq, bq— операторы рождения и уничтожения фононов, а В1К, есть матричный элемент величины Bq(x), взятый с волновыми функциями iMx). Обобщенные координаты и импульсы связаны с операторами рождения и уничтожения фононов bq обычными соотношениями:
Q?= VHi _г-_А=^{2Я)
49 л/2 dQq i«j2
Всюду в дальнейшем при рассмотрении колебаний атомной матрицы мы будем ограничиваться гармоническим приближением. С учетом (2.8) гамильтониан колебаний атомной матрицы принимает стандартный вид:
