Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Выражением (7.9) можно пользоваться, если указанные величины меньше tc. В области малых энергий это условие сводится к неравенству (7.3); с другой стороны, в области больших энергий принятое приближение оказывается справедливым, если
(7.10)
Видим, таким образом, что условие применимости квази-классического приближения определяется не только параметрами материала tpj и а, но и той энергией, при которой вычисляется плотность состояний. Видимо, так же обстоит дело и при использовании других приближений.
Рассмотрим сначала случай j Е |<Сф|/2. Здесь допустимо разложение
eiEt~l+iE(. ' (7.11)
Отсюда для плотности состояний при малых энергиях имеем, отбрасывая второе слагаемое в квадратных скобках в (7.9):
О (Р) = фМ Г (3/4) Е Г (1/4) . _аЕ______1_____ «
Pl j 1р‘ 21/4я5/2 + V/4 27/4я5/2 + ф‘/2 8 s/2 я3/2 ’ ' ’
§7*. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРАЛА ДЛЯ Gr(t) 183
или, в обычных единицах,
Р (Е) =
Г (3/4) m3/V4 / Г (1/4) Е 2тп ЕаП \
~ 21/4л512 й3 t 23/2Г(3/4) <2 + 16Г (3/4) }' (7‘ }
Первые два слагаемых в фигурных скобках в правой части (7.12') представляют собой хорошо известный результат квази-классического приближения [13], последнее слагаемое определяет квантовую поправку к плотности состояний. Поправка такого вида была получена А. Л. Эфросом (1970) иным методом.
Согласно сказанному выше, выражение (7.127) оправдано
при
|?|<i|>i/2. (7.13)
С другой стороны, при Е < 0 и | Е l»^1/2 формула (7.9) дает
р(Е) = > ехР2(~ ^ (е_ , (7Л4)
2я | EI 8 д/2 я ^ V^i V V'l’i л/2я/
Первое и второе слагаемые здесь представляют собой, соответственно, результат квазиклассического приближения и квантовую поправку к нему.
Обратимся теперь к исследованию поведения функции Грина на больших временах t tc. Здесь надо прежде всего доказать, что круговая орбита радиуса R0(t) (см. (6.24)) действительно представляет собой точку стационарности функционала Q[r(r)]. Далее надо будет вычислить континуальный интеграл по всем траекториям, близким к оптимальным. При этом вблизи точки стационарности ?(т) естественно разложить функционал Q[r(r)] по отклонениям от нее. По поводу намеченной программы следует сделать одно замечание.
Прежде всего следует учесть, что точка стационарности функционала Q сильно вырождена. Действительно, в силу
(5.12) рассматриваемый функционал инвариантен относительно произвольного поворота траектории как целого. Это вырождение надо учесть с самого начала, проинтегрировав expQ[r(r)] по угловым переменным, характеризующим положение отдельной орбиты. Согласно (6.18) интересующим нас круговым орбитам отвечают коэффициенты ряда (5.4), удовлетворяющие условиям
I а01 = | aj | = | bi I, а0= —аь (ab bj) = 0, a„ = b„ = 0, 2,
(7.15)
Если принять векторы аь bi и [aibi] за базисные в пространстве векторов а„, Ь„ при п ^ 2, то интегрирование по положениям траектории как целого сведется к интегрированию по положе-
184 гл. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
ниям жестко связанных между собой векторов ai и Ьь Интеграл по направлениям одного из них, скажем аь равен 4я, а интеграл по азимутальному углу второго вектора, Ьь относительно оси, проходящей через первый, даст еще множитель 2я. (Фактически последнее интегрирование ведется по положениям вектора
b± = bj — aj ’¦¦¦. ^ В результате от пространства первых гар-ai )
моник ai и bi мы получаем
4я • 2я
Ых \ а\йа{\ b±db± \ dfe(|(...), Л^ = (4)3, (7.16)
О 0 —оо
где б» = -^--а1|' , а точками обозначены интегралы по всем п | а; |
остальным переменным. Удобно ввести новые переменные, в которых прежние векторы а* и bi входят симметрично и, кроме того, явно выделена существенная для нас величина, отвечающая радиусу орбиты:
R = ^j~^Jd\-\-b2±-\-b\, ах = R д/2 cos (ij> + я/4),
fell = #л/2 sin (ij) + я/4) sin ф, ^
fe_L = R^2 sin (1J3 + я/4) cos ф.
При этом вместо (7.16) мы получим
ОО л/4 л/2
5 R5dR 5 sir*2+ х)cos2+ х) § d(pC0S(p(• ¦
О -ЛИ -я/2 (7.16')
Очевидно, чисто круговой орбите отвечают значения ij) = О, Ф = 0. При этом вблизи круговых орбит можно считать малыми углы я|з и ф, а также все коэффициенты а„, Ь„ при п ^ 2. Малые (но не равные нулю) значения г|з отвечают превращению круга в эллипс за счет различия |ai| и |bj|; малые (но не равные нулю) значения ф ведут к эллиптичности за счет изменения угла между векторами ai и Ьь При анализе роли высших гармоник учтем, что мы описываем их теперь в системе координат, заданной векторами ai и Ьь Пусть ось Ох направлена вдоль аь а ось
