Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(2.9)
Вообще говоря, суммирование в (2.9) включает в себя все типы колебаний, в том числе и локализованные фононные моды.
§ 2. ГАМИЛЬТОНИАН В ^-ПРЕДСТАВЛЕНИИ
199
Гамильтониан взаимодействия электронов с внешним электрическим полем Hi в ^-представлении имеет вид
Я, = ?(МЗНЛ')а+ах,, (2.10)
U'
где (А,| Т | К') = ^dx ^(х) У (х) (х), а У (х) есть изменение
потенциальной энергии электрона при наложении внешнего электрического поля. При нашем выборе базисной системы имевшиеся в отсутствие внешнего поля внутренние поля, формирующие спектр, считаются уже включенными в гамильтониан Не-
Величина F(x) представляет собой разность между потенциальной энергией электрона во внешнем поле и в отсутствие поля; ее называют потенциальной энергией в «действующем» поле, которое, таким образом, создается как внешними зарядами, так и перераспределением зарядов системы, вызванным внешним полем. Мы увидим ниже, что изменение среднего числа заполнения от узла к узлу может заметно флуктуировать; соответственно даже при слабых внешних воздействиях действующее поле может быть весьма неоднородным.
Наконец, гамильтониан «остаточного» (не включенного в Не и Hi) электрон-электронного взаимодействия в ^-представлении имеет тот же вид, что и в формуле (II. 16.1):
Яее = 4 ? (К, Kr\V \К[, К^а+а+а^а^, (2.11)
№
где
(К, X'WWu =
= ^ dx dx\|>* (х) о|^,(х') V (х — х') i^/ (х') (х). (2.12)
В виде (2.11) можно представить не только кулоновское взаи-
модействие носителей заряда, но и эффективное их взаимодействие, обусловленное либо обменом фононами, либо локальной перестройкой решетки в окрестности локализованного носителя заряда.
Основной кинетической характеристикой системы служит неравновесная одночастичная матрица плотности
fw(0 = Spp(0a+a^, (2.13)
где p(t) есть полная неравновесная матрица плотности. Она удовлетворяет уравнению
= [Н, р(0] (2.14)
200
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
с полным гамильтонианом
Я = Яе+ЯрЬ + Яе.рЬ + Яее + Я, (2.15)
(в гамильтониан, очевидно, можно включить и магнитное поле). Величина (2.13) может описывать также наличие термических (не включенных в гамильтониан) воздействий типа градиента температуры.
Основные кинетические характеристики системы (электропроводность, термоэдс, коэффициент диффузии и т. д.) можно выразить через одночастичную матрицу плотности (2.13). Удобно, однако, обсудить подробнее вопрос о конкретном виде этих выражений несколько ниже, в § 5.
§ 3. Кинетическое уравнение
Рассмотрим вначале процесс временной эволюции системы в отсутствие внешних полей. В настоящем параграфе мы получим (И. П. Звягин, Р. Кайпер, 1972; см. обзоры [37, 42]) кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности с помощью методов, аналогичных используемым в теории необратимых процессов [43]. Для получения кинетического уравнения воспользуемся уравнениями движения для операторов а?, ак в представлении Гейзенберга. С этой целью перепишем выражение (2.13) для /ад'(0 в виде
= sР Р (°) W av М. (ЗЛ)
где р (0) = р (0 |<-о> а
ак (0 = ехр (j Ht) ак ехр (— ~ Я(3.2)
есть оператор в представлении Гейзенберга.
Удобно применить стандартный прием, известный из квантовой теории поля. Именно, будем считать, что все взаимодействия (с внешними полями и между частицами) адиабатически включаются при t = —оо. Соответствующая матрица плотности р0 = р(—оо) описывает систему равновесных невзаимодействующих электронов и фононов, а матрица плотности р(0) уже включает в себя эффекты всевозможных взаимодействий. Кинетическое уравнение представляет собой замкнутое уравнение для функции /и' (/), не содержащее величин, усреднение в которых проводится с матрицей ро.
Запишем уравнение движения для функции считая,
что внешних полей нет, а гамильтониан имеет вид
Я = Яе + ЯрЬ + Яе, ph.
(3.3)
§ 3. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
201
Мы пренебрегаем здесь эффектами, связанными с прямым взаимодействием электронов друг с другом; роль их будет обсуждаться в §§ 13, 14. Имеем
й^ + (?я-?я')/и' =
= ? {^'Я, {а\ a\fiq) ~ 7*)} (/ — 1» 2), (3.4)
<7/
где для сокращения записи введены обозначения
(З.Б)
<...> = spp(0.... (з.б)
а через —q обозначены квантовые числа фононов в состояниях, сопряженных по времени, так что, например, Вю} = {ВЪг) • Уравнение (3.4) справедливо и в случае, когда состояния делокализованы. В стандартной зонной теории кристаллов, когда в набор квантовых чисел входят компоненты квазиимпульса, второй член в левой части (3.4) дает диффузионный член кинетического уравнения при наличии плавной пространственной неоднородности.
