Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. ОТКЛИК СИСТЕМЫ НА ВНЕШНЕЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ 209
локализации, а выражения
и* и а = П - ?V + bFi -,б FW (4.12)
аналогичны разностям электрохимических потенциалов между центрами локализации А, и К'.
Строго говоря, нельзя вводить представление о химическом потенциале в применении к отдельному центру, а не к физически бесконечно малому объему. Все же эта терминология имеет известный смысл. Дело в том, что величины бF\ входят во все выражения подобно изменениям химического потенциала. Точное определение этих величин через изменения чисел заполнения состояний дается соотношением (4.11).
Согласно (4.11) различия между локальными сдвигами химического потенциала на разных центрах означают неравномерность заполнения последних и приводят к возникновению результирующего потока частиц между центрами. С этим и связано протекание прыжкового диффузионного тока при создании неравномерной средней заселенности центров (градиента концентрации локализованных носителей).
Таким образом, линеаризация уравнения баланса (3.18) с помощью соотношений (4.6) — (4.12) приводит к уравнению
где, однако, сами разности потенциалов Uw зависят от бf\. Учет этой зависимости в теории прыжкового переноса по локализованным состояниям принципиально важен в силу того, что вероятности перескоков между различными парами центров меняются случайным образом и в очень широких пределах. В результате изменения заселенности состояний, как мы увидим, часто наиболее легкие направления перескоков (с максимальными ГХХ') оказываются блокированными. С этим и связано существенное отличие рассматриваемой системы от системы регулярно расположенных центров, для которых, очевидно, в силу их эквивалентности все бF\ одинаковы, и в отсутствие макроскопического градиента концентрации величины U^ представляют собой разности электростатических потенциалов. Ниже при использовании уравнения (4.13) для конкретных расчетов мы вернемся к важному вопросу о роли зависимости разностей потенциалов Uот величин 6/л, 6/Л/.
Величину
(4.13)
Гtt'U11'
(4.14)
210
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
можно рассматривать как парциальный поток между центрами Я и Я'; тогда согласно уравнению (4.13) изменение среднего числа электронов в состоянии Я в единицу времени равно сумме вытекающих парциальных потоков. В частности, в стационарном случае
= 0 (4.15)
V
— сумма парциальных потоков в каждом узле обращается в нуль. Задача об отыскании величин бfx (или Ux) на основании
уравнения (4.15) эквивалентна задаче об отыскании потенциалов в узлах случайной сетки сопротивлений (рис. 12), каждый узел Я которой связан с каждым из \ остальных сопротивлением
2и'=(тГи')_1 <4Л6)
(А. Миллер, Э. Абрахамс, 1960). Уравнение (4.15) есть не что иное, как закон Кирхгофа для такой сетки, а задача об отыскании величин \J% с помощью закона Кирхгофа эквивалентна рассматриваемой задаче в стационарном случае.
В общем нестационарном случае система уравнений (4.13) эквивалентна задаче об отыскании напряжений в узлах обобщенной случайной сетки (М. Поллак, 1974; эта сетка изображена на рис. 13). Каждый узел ее соединен с источником напряжения Y\je через емкость
Рис. 12. Случайная сетка сопротивлений. U^, ... — электрохимические потенциалы в узлах Хи .. Z^, ... — сопротивления между узлами.
(4.17)
Величины —ебД, в этом случае отвечают зарядам в узлах, т. е. на соответствующих емкостях, и определяются уравнением
yW^-^' I <’6f* ЛМ—г- + -ЕГ-^7
dt
ebh'\
j
(4.18)
Указанный подход к задаче может иногда оказаться полезным в связи с тем, что картина случайной сетки сопротивлений отличается большой наглядностью.
Проведенное выше рассмотрение можно обобщить на случай, когда в системе имеются термические возмущения (И. П. Звягин, 1973). В случае достаточно медленного изменения интенсивных термодинамических переменных в пространстве можно
§ 4. ОТКЛИК СИСТЕМЫ НА ВНЕШНЕЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ 211
говорить об их локальных значениях и ввести представление о локально-равновесном распределении. Медленность здесь означает, что систему можно разбить на объемы, которые, с одной стороны, столь малы, что изменение термодинамических переменных в них пренебрежимо мало, а с другой стороны, достаточно велики (макроскопичны), так что флуктуации плотности частиц и энергии в них не играют существенной роли. Возможность введения локально-равновесных распределений обусловлена существованием иерархии временных и пространственных масштабов, характеризующих процесс релаксации системы к равновесному состоянию. Как мы видели в § 3, после начального быстрого этапа эволюции, происходящего за время порядка %/Е, дальнейшая эволюция системы (при t^>%/E) может быть описана кинетическим уравнением (3.18). В области сильно локализованных состояний это уравнение сохраняет силу и для пространственно неоднородных распределений. На кинетическом этапе (при t^$>%/E) за время порядка то происходит частичная релаксация системы к неоднородному состоянию, характеризующемуся медленно меняющимися в пространстве и во времени плотностью частиц и температурой. Дальнейшая релаксация неоднородных распределений к состоянию полного равновесия может быть описана с помощью макроскопических уравнений (типа уравнения диффузии). В теории плотных газов этот этап называют гидродинамическим. При этом временная зависимость одночастичной матрицы плотности определяется уже ее зависимостью от локальных температуры и плотности числа частиц. Обозначим через тл и Lh время релаксации макроскопически неоднородной системы и характерный масштаб неоднородности, причем, вообще говоря, Lh может быть порядка размера системы L, а тн — зависеть от L. Локально-равновесное распределение можно ввести на гидродинамическом этапе для времен t и пространственных масштабов /, удовлетворяющих неравенствам
