Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
При наложении внешнего электрического поля, описываемого гамильтонианом (2.10), в правой части уравнения (3.4) появляется дополнительное слагаемое
Л]
При переходе к импульсному представлению оно приводит к обычному выражению для полевого члена кинетического уравнения.
Уравнение (3.4) зацепляется за уравнение для функций типа (aja^pw), которое имеет вид
{ «1 - ?v+ (-1)' to,} (awm -
= ? ВЬ, - «адЧй1 р'Л) • <3-8>
А-Лз id
Будем пока считать, что Blv — 0 при А = АЛ Слагаемые с А = А/ можно исключить каноническим преобразованием, осуществляющим переход к новым операторам рождения и уничтожения электрона. Как и в обычной теории поляронов, эти операторы отвечают состояниям электронов в деформированной атомной матрице — материале, атомы которого смещены в новые положения равновесия. Учет этой деформации может оказаться
202
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
существенным при рассмотрении многофононных перескоков (см. § 7).
Будем считать взаимодействие, вызывающее переходы между локализованными состояниями, достаточно слабым. Соответственно положим Вм' ~ g> где g— формально введенный безразмерный малый параметр (фактический параметр разложения будет указан ниже). В силу наложенного выше условия при t = —оо диагональные элементы fkk(t) = h(t) — порядка g°, а функции и fkV(t) при кфк' — по крайней мере по-
рядка g. Соответственно должно иметь место условие
k>fu,' (кфк'). (3.9)
Уравнение для диагональных элементов одночастичной матрицы плотности, согласно (3.4), имеет вид
й^=21тЕви,(аХО- (зл°)
Ai qi
Для того чтобы получить замкнутое уравнение для функций Д., нужно выразить через них правую часть уравнения (3.8), проведя соответствующее расцепление. Расцепление проводится путем выделения всевозможных спариваний электронных операторов с учетом условия (3.9), причем фононная система считается находящейся в равновесии*). Например,
’J"Ь ^kkPkjJк 0 ^.,)} (3.11)
Это расцепление аналогично расцеплению цепочки уравнений для двухчастичной функции Грина, используемому в теории явлений переноса делокализованными носителями заряда («зонный перенос») [44]. Непосредственным сравнением уравнений для левой и правой частей выражения (3.11) нетрудно убедиться, что параметром расцепления служит введенная выше безразмерная константа g.
Для равновесных функций имеем
<те>0={К+т)11 -1 1-^т-}б*. - (з-12)
где Nq есть обычная функция Бозе — Эйнштейна: Nq =
= (ехр -fy2-l) ; /, / =1, 2. Очевидно, среднее (3.12) от-
*) Это упрощение оправдано при не слишком большой силе тока и достаточно хорошем теплообмене между образцом и окружающей средой. Б интересующих нас линейных задачах это условие, как правило, выполняется. При этом следует иметь в виду, что в области локализованных состояний эффекты увлечения отсутствуют (см. ниже, § 12).
5 3. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 203
лично от нуля лишь при / Ф I (т. е. при / = 3 — /) и выражается через функцию
фу=(№/>,= г (~'Г%1 • (з.13)
ехр [(-1)/ -^2-J - 1 После расцепления уравнение (3.8) принимает вид
{"> ж + - Eh + (- IV л*,} <олХЙ,п> =
= ВПК(1 -U-fx (1 -«ф?Л• <з-14>
Его можно решить относительно функции с начальным условием | _оо==0 (адиабатическое вклю-
чение взаимодействия при / = —оо). Получаем t
— оо
- fXi (О (1 - f, (О) Ф V) ехр b + (- 1)' Йа>?) (/ - О]. (3.15)
После подстановки (3.15) в (3.10) получается замкнутая система уравнений для функций t
*4=-2Re \ ‘"'EKHM'Hl-M'V"-
— оо qj
~ к (О (1 - ^ (О) Ф V) ^Р р -?,, + (- 1)у Й%) (/ - О].
(3.16)
Отметим, что полученное уравнение описывает немарковский процесс, т. е. процесс «с памятью», когда значение производной dfx/dt определяется значениями функции fi(t) во все предшествующие моменты времени. Подобные немарковские поправки появляются при рассмотрении членов высших порядков и при квантовомеханическом обобщении уравнения Больцмана. Мы увидим сейчас, что если ограничиться членами низшего порядка по параметру g, то уравнение (3.16) переходит в марковское. Действительно, правая часть (3.16) может быть представлена в виде суммы членов типа t
J (3.17)
— оо
где frQlll, = ?*, — + (—1)/ h(aq, а выражение для (О
легко получается из сравнения (3.17) с (3.16). Подынтегральное
- ? {Wu'fx (1 - к') - - h)h (3.18)
204 гл. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
выражение здесь представляет собой произведение осциллирующей функции на функцию Тп., (I'), зависимость которой от времени определяется зависимостью от времени функций Основной вклад в интеграл (3.17) дает область
