Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
т0 < / < тА, Lc0 «/ < Lh.
Здесь Lc0 есть характерный масштаб, определяющий корреляцию флуктуаций чисел заполнения в рассматриваемой задаче; отметим, что он может существенно превышать характерную
Рис. 13. Обобщенная случайная сетка.
212
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
длину перескока гн. Локально-равновесное распределение можно записать в обычном виде:
f (Е, х, 0 = { 1 + ехр ( Е ~, (4.19)
где T(\,t) и F(x,t)— локальные значения температуры и элек-
трохимического потенциала.
Рассматривая времена и подсистему А с размером
La Lh, мы можем считать изменения температуры и локальной концентрации частиц в пределах этой подсистемы достаточно малыми и ограничиться линейным по градиентам приближением. Соответственно положим
Г (х, {) » Т + (х • УГ), F (х, t) « F + (х • VF), (4.20)
где Т и F — средние по подсистеме значения температуры и
электрохимического потенциала. В задаче о вычислении кинетических коэффициентов градиенты VT и VF можно считать постоянными в пространстве и во времени.
Рассматривая временную эволюцию системы на кинетическом этапе, будем искать решение кинетического уравнения для прыжкового переноса (3.18) в виде
= RO + eMO- (4.21)
Здесь 8fx(t)—флуктуации чисел заполнения узлов, возникающие при протекании потоков частиц и энергии через систему локальных центров со случайным разбросом вероятностей переходов. В линейном по градиентам приближении имеем
к W - (Ex) + nF (EJ [1-я, (?,)] R, [%- vr + V (-?-)] + 6/х,
(4.21')
причем равновесная функция nF(Ei) есть точное решение уравнения (3.18). Подставляя (4.2Г) в (3.18), мы приходим к уравнению вида (4.13), с тем лишь отличием, что вместо величин Uw в нем фигурируют разности обобщенных потенциалов
- Чш + R» [-Т-'VT + Т v (т)] - [41 W + ? Кт)] •
(4.22)
Уравнения (4.13) с заменой Uhh,-*-U*xx, полностью описывают термоэлектрические явления переноса по локализованным состояниям.
§ 5*. ПЛОТНОСТЬ ТОКА В Х-ПРЕДСТАВЛЕНИИ
213
§ 5 *. Плотность тока в ^-представлении
Для определения плотности тока в ^-представлении (2.1) в принципе можно воспользоваться любым из стандартных выражений, связывающих плотность тока с одночастичной матрицей плотности. Например,
j W = - тг ? ^1 v 1 ^ = - i ? <Я| х м - (5-1)
XX' XX'
где v — оператор скорости. Следует отметить, что при вычислении плотности тока в макроскопической системе в выражении
(5.1) надо выполнить термодинамический предельный переход Я->оо; этот переход должен выполняться до всех других предельных переходов (например, до перехода co-vO). В условиях, когда рассматриваемые базисные функции локализованы (т. е. описывают нетоковые состояния), выполнение термодинамического предельного перехода в формуле (5.1) при конечных t или ш не всегда тривиально [42]. Действительно, как мы видели в § 3, прыжковая составляющая плотности тока определяется диагональными элементами одночастичной матрицы плотности. Однако «внутренние» состояния, локализованные далеко от границ системы, в области, где установилось стационарное значение плотности тока, в пределе со 0 не дают вклада в диагональную часть суммы (5.1): для этих состояний dfx/dt = 0. Для фактического выполнения перехода Q-voo более удобной представляется иная форма записи выражения для плотности тока — через объемные характеристики системы (т. е. через характеристики «внутренних» центров).
Выведем альтернативные выражения для плотности тока непосредственно из уравнения непрерывности
div j (х, t) — e ~ ~ = 0, (5.2)
где
п (х, /) = Е аш (х) fjiv W. (5-3)
U'
a
ахх' (х) = '•’I (х) V (*)¦ (5-4)
Рассмотрим вначале линейный отклик системы на внешнее возмущение, полагая
6п (х, /) = ? ахх' W 6/u' (0. м/
(5.5)
214
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
В линеаризованном уравнении непрерывности удобно перейти к фурье-представлению по пространственным координатам и времени, полагая
оо
j (к, со) = ^ dx ^ dt е~ (х, t), (5.6)
— оо
и аналогично для 6/г(к, со). Тогда из уравнения непрерывности
(5.2) мы получаем для продольной компоненты плотности тока
(5.7)
ш
(в дальнейшем мы для краткости опускаем значок /). Заметим, что, как и в обычной теории явлений переноса [45], в слабо неоднородных и медленно изменяющихся полях предельные переходы &->0 и со-*-О некоммутативны: для вычисления статической проводимости (или плотности тока) нужно сначала выполнить предельный переход &->0 (при постоянной напряженности поля), а уже затем устремлять к нулю частоту со. Обратный порядок предельных переходов соответствует задаче об экранировании статического поля. При этом плотность тока естественно равна нулю.
