Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ЗА’
j.S = e-^, (5.16)
где S —площадь сечения, Na — полное число электронов в подсистеме А объема QA:
^ = Е S*“u-W/u'W- (5-17)
м' аА
Отсюда
/=тгЕ \ <5Л8>
АД/
Диагональная часть плотности тока дается выражением
/’4Е1' <5Л9>
где символ означает, что суммирование проводится толь-
ко по центрам, расположенным в объеме Q^. Действительно, интеграл \dxak(x) близок к единице для всех «внутренних»
центров, расстояние от которых до сечения S превышает радиус локализации. При выходе координаты х^ за пределы подсистемы этот интеграл убывает до нуля в приграничном слое толщиной порядка радиуса локализации. Для сильно локализованных состояний, когда характерные расстояния между центрами существенно превышают радиус локализации, можно положить
J dx а>и (х) ~ 6 (х0 — хк),
Яд
откуда и следует равенство (5.19).
Подставляя в (5.19) выражение для dfx/dt из кинетического уравнения (3.18), получаем (без предположения о слабости
218
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
приложенного поля)
(!-«}• (5.20)
v
Для рассматриваемой модельной системы выражения (5.19) и
(5.20) эквивалентны. В стационарном случае каждое из них дает нуль в соответствии со сказанным выше. В общем случае из выражения (5.20) видно, что вклад в него дают лишь центры X, X', локализованные на расстояниях порядка длины перескока от границы и по разные стороны от нее. Действительно, сумма типа
2 pPuAO-M-eVA-O-M}
обращается в нуль из-за антисимметрии выражения в скобках относительно перестановки индексов X, X', так что
- - Т Е с - м - 0 - м>- (5-21>
k<S
v>s
Здесь символами X < S и X' > S обозначены центры подсистем А и В, лежащие, соответственно, слева и справа от поперечного сечения S. Поскольку вероятности переходов быстро убывают с увеличением расстояния между центрами, центры X и X', отстоящие от поверхности S далее, чем на характерную длину перескока, не дают заметного вклада в ток.
В случае неизолированной системы А, ограниченной плоскостями х = Х\ и х = Xi = Х\ + L (рис. 14, б), в левой части уравнения непрерывности (5.16) стоит полный поток через поверхность, ограничивающую систему, т. е. сумма потоков, вытекающих из системы через обе боковые поверхности. По этой причине обращение в нуль производной дNA/dt означает лишь равенство потоков, втекающего в систему и вытекающего из нее, но отнюдь не означает, что каждый из них обращается в нуль. В этом случае, используя кинетическое уравнение, получаем
= - т Е {w*h 0 - М - «’Wv о - «} +
(xk<xvxX'>xi)
+т Е <5-22>
М'
Как отмечалось выше, пары центров, дающих вклад в суммы, стоящие в правой части выражения (5.22), локализованы,
8 5*. ПЛОТНОСТЬ ТОКА В ^-ПРЕДСТАВЛЕНИИ
219
соответственно, вблизи плоскостей х = х\ и х = Х\ + L. Поскольку длина L макроскопическая, она велика по сравнению с характерной длиной перескока.
При этом естественно определить плотность тока соотношением (5.21), разделяя вклады от поверхностей х = х\ и х = х2. В предположении о малости внешнего возмущения это соотношение переходит в полученные выше формулы (5.14), (5.15).
При непосредственном использовании формул (5.1) или (5.7) следует иметь в виду, что при правильной последовательности предельных переходов вклад в соответствующие суммы дают сингулярные при (о->0 части функций 6^(ю). Как показано в Приложении X, решение кинетического уравнения (4.13) для макроскопической системы длины L = х2 — х\ (например, системы А на рис. 14,6) содержит сингулярную часть, пропорциональную 1*'х^ „'<*¦> , где j(Xi) — плотность тока через сечение
х — уCi, i= 1, 2. Полагая, что макроскопическая плотность тока мало меняется на длине L (kL < 1), получаем отсюда, что указанная сингулярная часть пропорциональна k/<&. Соответственно переход к пределу ?->0, (о->0 в формуле (5.8) дает конечный результат.
Для однородного случая, когда j(x2) = j(xi), решение кинетического уравнения регулярно, поскольку сингулярности, связанные с поверхностями х = Х\ и х = х2, точно компенсируются. Из (5.21) видно, однако, что в выражение для локальной плотности тока входит лишь вклад, связанный с отдельной поверхностью. При выделении этого вклада (например, по рецепту, определяемому формулой (5.22)) и появляется сингулярность типа 1/(о, которая обусловливает конечность плотности тока, получаемой при ю->0 по формуле (5.8).
Поскольку решение однородной статической задачи регулярно, величины /и„ выражающиеся через него, несингулярны при ю->0. Соответственно представление плотности тока через парциальные потоки ixx, при переходе от (5.1) к (5.15) и отвечает корректному выделению сингулярности типа 1/а в выражении для б/я(ю), появляющейся при условии, что переход (о->0 выполняется после предельного перехода й —>оо.
