Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(3.13). Величины Sp р(й)atfl^q , которые того же порядка (g), что и остальные члены в правой части (6.7), можно вычислить с требуемой точностью непосредственно:
op р ~
оо
« -j ^ dx Sp ро [ajj; (т) ах2 (т) ^ (т), Яе, Рь (0)]_ = — Ж1Ц2Ч (со), (6.9)
О
где ро — матрица плотности системы невзаимодействующих электронов и фононов, а запаздывающая функция ЖЦХгч 0ПРе' деляется равенством
-Т6 MSpPoKW^WP?’ (6.10)
Функция Жх^кгч (ап) удовлетворяет уравнению {/ко + Ext - EKl + (- 1)(Л Ас#,} ЖЩх2Ч (со) «
~ — BqxA, {ф fnF (Ex,) [1 —пР (Ех,)] — Ф(?3_/W (Ex,) [1 —пР (?*,,)]}•
(6.11)
Подставляя (6.8), (6.9) и (6.11) в (6.7), выражая функцию iflt,ax$(q)|ах'йх'} из (6.7) и подставляя ее в (6.6), находим
i^Kxk’ (®) =
___J_ y* г _1_л j_____ТКы ________________T^k,k' 1
- т L + п (? ) [1_„ (ЭД nF (^[l-MiyiJ •
м
(6.12)
§ 7*. МНОГОФОНОННЫЕ ПЕРЕСКОКИ
223
где Гм,—темп однофононных переходов, определенный равенством (4.9). Принимая во внимание соотношение (6.4), видим, что уравнение для функции Грина (6.12) эквивалентно линеаризованному кинетическому уравнению (4.13), а выражение для плотности тока через двухчастичную функцию Грина имеет вид (сравните с (5.14))
Разумеется, результаты, получаемые различными методами, эквивалентны, и использование того или иного подхода диктуется лишь соображениями удобства и вкуса. Отметим лишь следующее; несмотря на то, что результирующая плотность тока пропорциональна g2, вообще говоря, нельзя, вычисляя электропроводность по формуле Кубо, ограничиваться только членами низшего порядка по g (Э. О. Манучарянц, И. П. Звягин, 1974). Если использовать формальное разложение такого типа, т. е. если выполнять предельный переход g-> 0 до предельного перехода со->0, то для плотности тока получается выражение, совпадающее с формулой (6.13), в которой отсутствуют два последних слагаемых в фигурных скобках в правой части. Этот результат некорректен в статическом случае. Действительно, появление указанных слагаемых связано с расходимостью формального разложения по g в низкочастотной области. В названном разложении имеются члены, пропорциональные g2n&~n, и следует провести частичное суммирование рядов для того, чтобы получить выражение, конечное при со->0. Принятая выше процедура расцепления эквивалентна такому суммированию.
Причина расходимости становится ясной при рассмотрении уравнения (6.12). Формальное разложение по g соответствует последовательным итерациям этого уравнения. Очевидно, этот подход не оправдан в низкочастотной области, где необходимо пользоваться уравнением (6.12), эквивалентным задаче о случайной сетке сопротивлений (§ 4).
§ 7*. Многофононные перескоки
ТКХ (со)
ТКк, (ш)
}
nF(E})] nF (^VH1 Пр(ЕХ’)])
Здесь
(6.13)
*» = -S *УГи.<“>= - Е Мм» (в.14)
Изложенный выше (в § 3) вывод кинетического уравнения был основан на расцеплении, справедливом в низшем порядке по константе g. Соответственно справедливость его ограничена
224
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
однофононными процессами. Естественно ожидать, что однофо-нонные процессы будут доминировать, если характерное изменение энергии при перескоках Е не превышает максимальной энергии фононов Йштах. Так, например, обстоит дело в компенсированных кристаллических полупроводниках, где прыжковая проводимость осуществляется в узкой полосе энергий («примесной зоне»). В то же время в аморфных материалах, по-видимому, обычна обратная ситуация: Е ^$> Йсотах- Действительно, величина Е при не слишком низких температурах может быть весьма большой, например порядка 0,1 эВ (см. ниже, § 10), что существенно больше максимальной энергии фононов. В этом случае следует ожидать, что проводимость будет определяться многофононными перескоками. При построении кинетической теории с учетом многофононных процессов мы уже не вправе пренебрегать членами Blx, как это делалось в § 3. Эти члены описывают, в частности, эффект поляризации решетки электроном, находящимся в состоянии X.
В зависимости от конкретной ситуации оказывается более удобным воспользоваться тем или иным базисом электронных локализованных функций. Пусть характерное значение интеграла перекрытия для пары центров достаточно велико, т. е. частота связанных с ним переходов велика по сравнению с обратным временем перестройки атомной матрицы. Этот случай мы будем называть адиабатическим. В качестве базиса здесь удобнее рассматривать «коллективизированные» функции *МХ)> от‘ вечающие мгновенной конфигурации атомов, а возмущение, вызывающее переходы, описывать оператором неадиабатичности системы, подобно тому как это делают для безызлучательных переходов электронов на локальных центрах в кристаллах [46].
