Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Ще)
І (є) ~ E Pi (2.27)
г=1
Мы приходим к выводу, что обобщенная размерность D2 определяет зависимость корреляционного интеграла І(є) от є в пределе є —>• 0. По этой причине величину D2 в литературе называют корреляционной размерностью.
Установим теперь ее связь с парной корреляционной функцией. Для этого введем плотность вероятности /9(г)
Р( г) = ^Y1S(T-Ti). (2.28)
По своему физическому смыслу p(T)ddT — есть вероятность обнаружить точку фрактального множества в объеме ddT вокруг точки г. Она, очевидно, удовлетворяет условию нормировки
I p(T)ddT = 1. (2.29)
с
Парная корреляционная функция связана с /9(г) следующим образом
С (г) = J р(т')р(т' + г)Л'. (2.30)
с
Она представляет собой плотность вероятности двум произвольным точкам множества находиться на расстоянии г друг относительно друга. Под интегралом в этом выражении стоит плотность условной вероятности иметь одной точке координату г' + г, если другая точка имеет координату г'.
93 В силу отсутствия характерного масштаба длины, для введенной таким образом корреляционной функции С (г) характерно степенное поведение с расстоянием г, т.е. С (г) « 1 /W3, где ? — некоторый показатель степени. Легко показать, что он связан с корреляционной размерностью D2 соотношением
? = d-D2, (2.31)
где d — обычная евклидова размерность пространства.
Действительно, в силу своего определения плотности условной вероятности величина С (г), будучи проинтегрирована по ^-мерной сфере радиуса є, определяет вероятность того, что две наугад взятые точки из множества L окажутся внутри этой сферы. Иными словами, это есть не что иное, как введенный нами выше корреляционный интеграл 1{е)
є
І(є) и / drrd~lC{r) и ?d-?. (2.32)
о
Сравнивая это с выражением (2.27), мы приходим к соотношению (2.31).
Далее мы покажем, что в случае мультифрактала с фрактальной размерностью D0 < d справедливо также неравенство D2 < d. Поэтому показатель степени ? > 0 и корреляционная функция С (г) убывает с расстоянием г. Причину этого убывания можно пояснить так. Рассмотрим для простоты однородный фрактал с размерностью D < d. Тогда для него D2 = D. Количество точек в каждой ячейке размера є в этом случае одинаково и пропорционально щ(є) ос sD. Если мы теперь разделим эту величину на объем ячейки Sd1 то получим плотность точек р(є), которая будет уменьшаться с увеличеним размеров ячейки р(є) OC 1 /sd~D = 1/єР. Это уменьшение плотности р с ростом размеров ячейки и является физической причиной спада корреляционной функции С (г).
Можно также легко доказать, что если корреляционная функция мультифрактала убывает с расстоянием по степенному закону С (г) « I / rd-D2 ^ то ее фурье компонента С (к) в зависимости от волнового вектора к тоже меняется по степенному закону С (к) « 1/к
94 2.1.5 Свойства функции Dq
Как мы уже говорили, мультифрактал характеризуется неоднородным распределением точек по ячейкам. Как известно из термодинамики, энтропия неоднородного распределения молекул газа в сосуде всегда меньше энтропии их однородного распределения (в том же сосуде), когда газ везде обладает одной и той же плотностью. Соответственно, если бы точки, составляющие мультифрактал, были бы распределены по нему равномерно по всем N(є) ячейкам с вероятностью pi = 1 /N(є), энтропия такого распределения была бы максимальна и равна
Ще)
Smta(E) = - E Pilnpi = In N (є) И -D0Ine. (2.33)
г=1
Другими словами, она была бы больше фактической величины энтропии мультифрактала, рассчитанной для реального неоднородного распределения точек, S (є) = —Diln?. Отсюда следует важный вывод, что информационная размерность мультифрактала D\ всегда меньше или равна его хаусдорфовой размерности D0-
Это неравенство можно обобщить для произвольного показателя степени q и доказать, что обобщенная фрактальная размерность Dq всегда монотонно убывает (или в крайнем случае остается постоянной) с ростом q
Dq > Dql при q' > q. (2.34)
Знак равенства имеет место, например, для однородного фрактала. Максимального значения -Dmax = D-Q0 величина Dq достигает при q —>• —оо, а минимального Dmin = D00 при q —>• оо.
2.1.6 Неоднородное канторовское множество
Рассмотрим ниже простой пример, который позволит нам вычислить спектр обобщенных фрактальных размерностей Dq аналитически и продемонстрировать основные свойства функции Dq. Возьмем уже знакомое нам канторовское множество исключенных средних третей. Пусть в начале процедуры (нулевой шаг) у нас имеется единичный отрезок, по которому как-то распределены N точек нашего фрактального множества. На первом шаге мы уже имеем 2 отрезка по
95 краям первоначального единичного интервала, каждый из них длиной 1/3. Пусть наши исходные N точек распределены по ним теперь следующим образом. Левый отрезок заселен с вероятностью р\ и имеет piN точек, а правый с вероятностью р2 = 1 — pi, и на нем, соответственно, находится P2N точек. Затем с каждым из этих отрезков мы поступаем аналогичным образом. В результате на втором шаге у нас уже имеется 4 отрезка длиной 1/9, заселенных с вероятностью (слева направо) р\, p\p2l p2pi, P2 (см. рис. 2.4) и т.д.
