Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
11 Очевидно, ЧТО предыдущий пример построен ПО схожему алгоритму С Ii = I2 = = Is = 0.5 и Р1 = 0.9, P2=P3 = 0.05.
86 Пусть щ(е) представляет собой количество точек в ячейке с номером г, тогда величина
^ = ^n-W ^
представляет собой вероятность того, что наугад взятая точка из нашего множества находится в ячейке і. Другими словами, вероятности pi характеризуют относительную заселенность ячеек. Из условия нормировки вероятности следует, что
Щє)
E Pi(S) = 1. (2.2)
г=1
Введем теперь в рассмотрение обобщенную статистическую сумму Z(q,s), характеризуемую показателем степени q, который может принимать любые значения в интервале —оо < q < +сю
Щє)
Z(q,s)= (2.3)
г=1
Спектр обобщенных фрактальных размерностей Dqi характеризующих данное распределение точек в области определяется с помощью соотношения
Dq = ^l, (2.4)
где функция r(q) имеет вид
= (2.5)
v ' е^о іп є у ;
Как мы покажем ниже, если Dq = D = const, т. е. не зависит от q, то данное множество точек представляет собой обычный, регулярный фрактал, который характеризуется всего лишь одной величиной — фрактальной размерностью D. Напротив, если функция Dq как-то меняется с q, то рассматриваемое множество точек является мультифракталом.
Таким образом, мультифрактал в общем случае характеризуется некоторой нелинейной функцией r(q), определяющей поведение статистической суммы Z(q,s) при є —>• О
N (є)
Z(q,e)= (2.6)
г=1
87 Следует иметь в виду, что в реальной ситуации мы всегда имеем конечное, хотя и очень большое число дискретных точек N, поэтому при компьютерном анализе конкретного множества предельный переход є —>• 0 надо выполнять с осторожностью, помня, что ему всегда предшествует предел N —У 00.
Покажем теперь, как ведет себя обобщенная статистическая сумма в случае обычного регулярного фрактала с фрактальной размерностью D. В этом случае во всех занятых ячейках содержится одинаковое количество точек
пЛе) = J^y (2.7)
то есть фрактал является однородным. Тогда очевидно, что относительные населенности всех ячеек, Рі(є) = 1/N(s), тоже одинаковы, и обобщенная статистическая сумма принимает вид
Z(q,s) =N1-I(S). (2.8)
Учтем теперь, что, согласно определению фрактальной размерности D, число занятых ячеек при достаточно малом є ведет себя следующим образом
N(є) И ?-°. (2.9)
Подставляя это в формулу (2.8) и сравнивая с (2.6), мы приходим к выводу, что в случае обычного фрактала функция
r(q) = (q- 1 )D, (2.10)
т. е. является линейной. Тогда все Dq = D и действительно не зависят от q. Для фрактала, все обобщенные фрактальные размерности Dq которого совпадают, часто используется термин монофрактал.
Если распределение точек по ячейкам неодинаково, то фрактал является неоднородным, т. е. представляет из себя мультифрактал, и для его характеристики необходим целый спектр обобщенных фрактальных размерностей Dq, число которых, в общем случае, бесконечно.
Так, например, при q —>• +оо основной вклад в обобщенную статистическую сумму (2.3) вносят ячейки, содержащие наибольшее число частиц щ в них и, следовательно, характеризующиеся наибольшей вероятностью их заполнения pj. Наоборот, при q —>• —оо основной
88 вклад в сумму (2.3) дают самые разреженные ячейки с малыми значениями чисел заполнения pj. Таким образом, функция Dq показывает, насколько неоднородным является исследуемое множество точек С.
В дальнейшем для характеристики распределения точек необходимо знать не только функцию т(д), но и ее производную, непосредственно вычисляемую из выражений (2.5) и (2.3)
Щє)
ііпЛ ? Pi hp,-
^=1^7^^- (2.11)
da "-її /»(г) "і
Т.РІ
г=1
In Є
Эта призводная, как мы увидим, имеет важный физический смысл. Здесь же повторим, что если она не остается постоянной и меняется с д, то это означает, что мы имеем дело с мультифракталом.
2.1.3 Фрактальная размерность D0 и информационная размерность D1
Выясним теперь, какой физический смысл имеют обобщенные фрактальные размерности Dq для некоторых конкретных значений д. Так, при д = 0 из выражения (2.3) следует, что
Z(0,e) = N(s). (2.12)
С другой стороны, согласно формулам (2.6) и (2.4),
Z(O1E) «?т(0) =?-Do. (2.13)
Сопоставляя эти два равенства, мы приходим к соотношению N(є) « s~d°. Это означает, что величина Dq представляет собой обычную хаусдорфову размерность множества С. Она является наиболее грубой характеристикой мультифрактала и не несет информации о его статистических свойствах.
Выясним теперь смысл величины D\. Поскольку при д = 1, в силу условия нормировки вероятности (2.2), статистическая сумма равна
Z(M) = I5 (2.14)
то т(1) = 0. Таким образом, мы имеем неопределенность в выражении (2.4) для D\. Раскроем эту неопределенность с помощью очевид-
89 ного равенства
N (є) N (є)
Z(q, є) = E P9i = E Pi exp [(g - 1) Inpi]. (2.15)
і=1 г=1
Теперь, устремляя q —>• 1, раскладывая экспоненту и учитывая условие нормировки (2.2), получаем
ЛГ(?) iV(er)
Z(g 1, є) и S [Pi + (9 - 1)Рі Ьрі] = 1 + (g - 1) E Pi In Pi. (2.16)
