Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
(1.64)
zn+1 - Z = (zn- z)f'(z).
(1.65)
64 При анализе отображений наряду с неподвижными точками важную роль также играют так называемые периодические точки и циклы, состоящие из этих периодических точек. Так, например, цикл периода два состоит из двух точек ?1 и Ct2 таких, что
/(Ci) = C2 и /(C2) = Ci- (1.66)
Очевидно, что начав процесс итераций в одной из точек цикла, мы его никогда не покинем и будем по очереди переходить из одной точки цикла в другую.
Нетрудно убедиться в том, что точки цикла ?1 и ?2 являются неподвижными точками отображения
Zn+1 = f(f (Z11)) ЕЕ f{2\zn). (1.67)
Действительно, применив, например, операцию / к равенству /(Cl) = = ?2 и воспользовавшись тем, что /(C2) = Ci5 получим:
/(/(Cl)) = /(C2) = Cl. (1.68)
Аналогичным образом показывается, что /(/(C2)) = C2-
Помимо цикла периода 2 у рациональных отображений существуют циклы и всех высших порядков с п = 3,4,____ Если ?0 — периодическая точка периода п, то она является неподвижной точкой функции f^(z) = /(... (f(f(z)))...). Очевидно также, что точка z, неподвижная для f(z), является неподвижной и для f(n\z).
Для того чтобы охарактеризовать устойчивость периодической точки ?, надо вычислить производные (?). Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, легко показать, что эта производная — одна и та же для всех точек цикла. Например, для цикла периода два
/(2)'( Cl) = /'(Z(Ci))Zr(Ci) = Zr(C2)Zr(Ci) = Z(2)/( C2). (1.69)
Если эта производная по модулю меньше единицы, то цикл называется притягивающим.
Аттрактором на комплексной плоскости мы будем называть точку (или точки), к которой сходится процесс итераций ZnJr 1 = f(zn) при п —> оо. В качестве такого аттрактора может выступать притягивающая неподвижная точка или притягивающий цикл определенного периода. Иногда таких аттракторов может быть несколько, они
65 также могут состоять из бесчисленного количества точек и представлять собой непрерывную линию или какое-нибудь другое (например, канторовское) множество. Если же в процессе итераций изображающая их точка уходит на бесконечность, то аттрактором такого процесса считается бесконечно удаленная точка.
1.3.3 Множество Жюлиа
Вернемся теперь к нашему квадратичному отображению и рассмотрим для начала простейший пример, когда значение комплекной константы с = 0. В этом случае отображение имеет две неподвижные точки z\ = 0 и Z2 = 1. Первая из них является притягивающей, так как /'(?) = 0, а вторая — отталкивающей (/'(?) = 2).
Пусть начальная точка будет равна некоторому комплексному числу Zq. В этом случае при каждой итерации вычисляется точный квадрат предыдущего числа: Zq —>• z\ -л z\ -л zjj —>¦ ... . Для этой последовательности в зависимости от Zq имеется три возможности:
1. Начальная точка Zq такова, что \zq\ < 1. Тогда в процессе итераций числа по модулю получаются все меньше и меньше, и их последовательность неуклонно приближается к нулю. То есть ноль является аттрактором для такого процесса (и притягивающей неподвижной точкой этого отображения).
2. Начальное значение Zq по модулю больше единицы, \zq\ > 1. Тогда последовательные числа zn по модулю становятся все больше и больше, стремясь в итоге к бесконечности. В этом случае аттрактором является бесконечно удаленная точка.
3. Начальная точка лежит на окружности единичного радиуса, т. е. \zq\ = 1. В этом случае, очевидно, и все точки нашей последовательности продолжают оставаться на этой единичной окружности.
Таким образом, в рассмотренном примере на комплексной плоскости ^ имеется две области притяжения. Одна лежит внутри окружности единичного радиуса, и принадлежащие ей точки имеют своим аттрактором ноль — притягивающую неподвижную точку. Другая
66 расположена снаружи от этой окружности и имеет аттрактором бесконечно удаленную точку. Границей между этими двумя областями притяжения является окружность единичного радиуса. На ней лежит вторая (отталкивающая) неподвижная точка квадратичного отображения Z2 = 1 (а также отталкивающие неподвижные точки отображений всех высших порядков f(n\z)).
Казалось бы, ситуация предельно проста, и нет смысла ждать какого-либо "подвоха" в том случае, если величина с в формуле (1.62) отлична от нуля. Граница, по-видимому, останется гладкой и будет иметь форму каким-то образом деформированной окружности, а притягивающая точка переместится из начала координат в другое место.
Рис. 1.52. Бассейн притягивающей неподвижной точки, с = —0.12375 + 0.56508 г.
Однако не все так просто! Давайте, например, возьмем в качестве с ненулевое значение с = —0.12375 + 0.56508 г. Здесь для последовательности Zq —> Zi —> Z2 —> ... также имеется три возможности типа перечисленных выше. Отличие, однако, заключается в том, что внутренний аттрактор уже не является нулем, и самое главное — граница не является гладкой. На рис. 1.52 показана эта граница и внутренняя точка, к которой сходится процесс итераций. Видно, что граница сильно изломана. Можно убедиться, что под лупой любого увеличения эта граница будет столь же изломанной, как и без нее (см. рис. 1.53).
