Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
67 % Шм
Рис. 1.53. Фрактальная структура границы.
Мандельброт назвал это фрактальной структурой такой границы. Она напоминает извилистую линию морского берега, которая становится тем длиннее, чем более мелкий масштаб используется для ее измерения. Одной из характерных особенностей этой границы является ее самоподобие. Если взглянуть на любой из ее фрагментов, то можно убедиться, что одна и та же форма встречается в разных местах и имеет разные размеры.
Рис. 1.54. Бассейн притягивающего цикла периода 3, с = —0.12 + 0.74 г.
В математике такие границы областей притяжения называют множествами Жюлиа. Во время первой мировой войны французские математики Гастон Жюлиа и Пьер Фату изучали их свойства для более общего случая рациональных отображений в комплексной плоскости. Их увлекательная деятельность оставалась в основном неизвестной даже большинству математиков, поскольку в отсутствие
68 современной компьютерной графики было почти невозможно передать их тонкие идеи. Например, Жюлиа и Фату было хорошо известно о самоподобии, они доказали, что всю границу можно восстановить по любой произвольно малой ее части путем конечного числа итераций формулы z —> Z2 + с.
Если выбрать теперь другое значение с, например, с = —0.12+ +0.74г, то получим рис. 1.54. Теперь множество Жюлиа представляет собой не одну "деформированную окружность", а состоит из бесконечного числа деформированных окружностей, образующих, однако, связное множество. Внутренние точки этого множества притягиваются уже не одной неподвижной точкой, а циклом из трех точек ?1, ?2? Сз, отмеченных на рисунке более крупно. В итоге, стартовав внутри одной из таких деформированных окружностей, после достаточно большого числа итераций, изображающая точка по очереди будет переходить между этими тремя точками. Математически это означает, что
C2 = Z(Ci), C3 = Z(C2) и Ci = Z(C3), (1-70)
где f(z) = Z2 + с. Иными словами, эти три точки являются корнями алгебраического уравнения шестой степени z = f^(z), т.е. неподвижными точками отображения zn+1 = f(f(f(zn))). В этом легко убедиться, если применить к любому из трех написанных соотношений два раза операцию /(...) и воспользоваться двумя другими.
Рис. 1.55. Пыль Фату, с = 0.11031 - 0.67037 г.
69 Таким образом, для каждого значения комплексного параметра с имеется свое множество Жюлиа, ограничивающее те области комплексных чисел Zq, которые в процессе итераций не уходят на бесконечность. С изменением с, очевидно, меняется и геометрия границ областей притяжения, т. е. множеств Жюлиа. Может случиться так, что области притяжения исчезнут вовсе и связная граница превратится в облако изолированных точек, называемое пылью Фату (см. рис. 1.55). Часто эти точки группируются весьма причудливым образом вокруг определенных мест, и разрешение рисунка становится явно недостаточным, чтобы в ограниченной области комплексной плоскости показать бесконечное число точек.
Если мы в качестве начальной выберем наугад одну из этих точек, то последовательные итерации отображения z —> Z2 + с будут переводить нас из одной точки этого множества в другую довольно хаотичным образом. Если же в качестве начальной будет взята любая другая точка (не из множества Жюлиа), то в процессе итераций мы уйдем в конце концов на бесконечность.
1.3.4 Множество Мандельброта и классификация множеств Жюлиа
Существует правило, позволяющее определить, какой вид будет иметь множество Жюлиа при том или ином значении с. Это правило приводит нас к множеству Мандельброта. Оно показано на рис. 1.56 как закрашенная черным цветом часть комплексной плоскости. Видно, что оно имеет необычайно сложную структуру. Каждое комплексное число с либо принадлежит черной структуре М, либо нет. Из произвольной точки множества M можно попасть в любую другую, не покидая множества М, т. е. множество Мандельброта является связным.
Соответствующие множества Жюлиа процесса z —> z2 + с существенно различаются. Они представляют из себя связные структуры, когда с лежит внутри М, и рассыпаются на бесконечное число изолированных точек (пыль Фату), когда с лежит снаружи. Например, самая большая кардиоида в центре содержит те значения с, при которых множество Жюлиа будет более или менее деформированной окружностью, охватывающей область притяжения устойчивой неподвижной точки (см. рис. 1.52).
70 Рис. 1.56. Множество Мандельброта.
Помимо главной кардиоиды, множество Мандельброта содержит также бесконечное число ее копий, называемых почками. Различным почкам соответствует аттрактор вполне определенного периода. Так, с, соответствующее циклу периода три (см. рис. 1.54), есть центр самой большой "луковки" сверху от основной части М. Такой цикл появляется в результате трифуркации неподвижной точки соответствующего отображения, когда параметр с переходит из основной части множества M в соответствующую почку. При такой трифуркации притягивающая неподвижная точка становится отталкивающей, однако "взамен" нее возникают три неподвижных притягивающих точки отображения zn+\ = f^(zn).
