Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Божокин С.В. -> "Фракталы и мультифракталы " -> 23

Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.

Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы — Ижевск: НИЦ, 2001. — 128 c.
Скачать (прямая ссылка): fraktaliimultifraktali2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 36 >> Следующая


83 Допустим, однако, что в методе случайных итераций мы теперь по какой-то причине отдали предпочтение одной из вершин треугольника, например, вершине А, и стали выбирать ее с вероятностью 90%. Две же остальные вершины В и С для нас по-прежнему равноценны, но на их долю теперь приходится всего лишь по 5%. Результат такой "несимметричной игры" изображен ниже на рис. 2.1.

Видно, что точки внутри треугольника ABC распределены теперь крайне неравномерно. Большая их часть находится у вершины А и ее прообразов. В то же время у вершин В и С (и их прообразов) их имеется крайне мало. Тем не менее по обычной терминологии данное множество точек (при стремлении числа итераций к бесконечности) является фракталом, так как сохранилось основное свойство фрактала — самоподобие. Действительно, треугольник DFC, хотя в нем в 20 раз меньше точек, по своим статистическим и геометрическим свойствам полностью подобен большому треугольнику ABC. Так же, как и в большом треугольнике, точки в нем концентрируются в основном вблизи вершины D — аналоге вершины А.

Рис. 2.2. Распределение точек по треугольнику Серпинского, изображенного на рис. 2.1.

На рис. 2.2 более детально показано результирующее распределение точек по треугольнику Серпинского. Цифры в каждом из маленьких треугольников показывают его относительную заселенность точками множества.

Однако, несмотря на неравномерность распределения точек по фракталу, его фрактальная размерность осталась при этом преж-

84 ней, D = In 3/ In 2. Покрытие этого множества все более и более мелкими треугольниками можно осуществить по тому же алгоритму, что и ранее. Такое совпадение заставляет нас заняться поиском иных количественных характеристик, которые могли бы отличить неравномерное распределение точек от равномерного.

Другой, более сложный пример неоднородного фрактала, который мы бы хотели еще привести, показан на рис. 2.3. Здесь слева показан большой квадрат со стороной, равной единице, который на этом (нулевом) этапе полностью покрывает собой некоторое фрактальное множество точек Л4. На следующем (первом) этапе, в центре рисунка, показано, как то же самое множество можно покрыть тремя меньшими квадратами со сторонами 11 = 1/2, I2 = 1^ = 5/16, в которых, соответственно, содержится доля pi = 1/2, P2 = 1/3 и р% = 1/6 всех точек.

1/9 1/18 1/18 1/36

1

1/3 1/6
1/2

? а
1/6

? ?
1/12

1/6

1/12

.1/4

Рис. 2.3. Пример мультифрактала, подчиняющегося ренормализационной схеме. Здесь I1 = 1/2, I2 = Is = 5/16, Pl = 1/2, р2 = 1/3, P3 = 1/6.

Следующий этап покрытия (изображенный на рисунке справа) содержит уже 9 квадратиков со сторонами l\ = 1/4, Iil2 = Iih = 5/32 (в нижнем правом углу) и I2Ii = 5/32, I2 = I2I^ = 25/256 (вверху справа и слева). Относительная заселенность этих квадратиков точками множества показана на рисунке. Она соответствует произведению факторов заселенностей (вероятностей): р\ = 1/4, pip2 = 1/6, PiP3 = 1/12 — для нижней правой группы, p2pi = 1/6, = V^7

Р2Р2, = 1/18 - ДЛЯ верхней левой И P2,Pl = 1/12, р2,р2 = 1/18, р\ = 1/36 —

для верхней правой группы. Отметим, что имеется строгое соответствие между заселенностью квадратика pjpi и его размерами Ijli.

85 Дальнейший процесс разбиения и покрытия множества A4 осуществляется в соответствии с этой ренормализационной схемой. Каждый квадратик, имеющий на п-м шаге размер I и заселенность р, заменяется на п + 1 шаге на три квадратика с размерами Hi, Ih-, Ih и заселенностями ppi, рр2, ррз соответственно, расположенными таким же образом относительно друг друга, как показано на рис. 2.3 в центре 11.

Два рассмотренных выше случая представляют собой примеры неоднородных фракталов. Под словом "неоднородный" мы здесь понимаем неравномерное распределение точек множества по фракталу. Причина неоднородности в обоих случаях одна и та же — разные вероятности заполнения геометрически одинаковых элементов фрактала, или в общем случае несоответствие вероятностей заполнения геометрическим размерам соответствующих областей. Такие неоднородные фрактальные объекты в литературе называются муль-тифракталами, и их изучением мы и займемся в дальнейшем.

2.1.2 Обобщенные фрактальные размерности Dq

Дадим общее определение мультифрактала. Рассмотрим фрактальный объект, занимающий некую ограниченную область С размера L в Евклидовом пространстве с размерностью d. Пусть на каком-то этапе его построения он представляет собой множество из N 1 точек, как-то распределенных в этой области. Мы будем предполагать, что в конце концов N —>• сю. Примером такого множества может служить треугольник Серпинского, построенный методом случайных итераций. Каждый шаг итерационной процедуры добавляет к этому множеству одну новую точку.

Разобьем всю область С на кубические ячейки со стороной є <С L и объемом Ed. Далее нас будут интересовать только занятые ячейки, в которых содержится хотя бы одна точка. Пусть номер занятых ячеек і изменяется в пределах і = 1, 2,... N(є), где N(є) — суммарное количество занятых ячеек, которое, конечно, зависит от размера ячейки Є.
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 36 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed