Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Так, выбрав на комплексной плоскости некоторое значение с и взяв в качестве начальной точку Zq = 0, мы имеем в соответствии с алгоритмом (1.62) такую последовательность чисел: z\ = с, Z2 = с2 + с, ,? = (с2 + с)2 + с и т. д. Если эта последовательность не имеет своим пределом бесконечно удаленную точку, то данное значение с принадлежит множеству Мандельброта. Очевидно, начальной точкой этой последовательности может служить и само значение с.
Разумеется, реально продолжать до бесконечности процесс итераций невозможно, и на практике ограничиваются неким конечным,
76 но достаточно большим числом итераций N. Однако, чем ближе (с наружной стороны) мы находимся к границе множества М, тем большее значение N мы должны взять и тем точнее должны быть наши расчеты. Подытожив, мы приходим к следующим трем правилам:
• Если точка с находится далеко от множества Мандельброта, то последовательность итераций zn+1 = z\ + с, стартующая в точке Zq = 0, быстро уХОДИТ НЭ 6ЄСК0НЄЧН0СТЬ.
• Если с расположена поблизости от множества Мандельброта, то последовательность итераций уходит на бесконечность медленно. Тем медленнее, чем ближе к границе M мы находимся.
• Если с лежит внутри множества Мандельброта, то последовательность итераций никогда не уходит на бесконечность.
Другой важной технической деталью является легко доказываемое утверждение, что если |с| < 2 и изображающая точка вышла в процессе итераций за границы круга радиуса 2, то затем она уже достаточно быстро уходит на бесконечность.
Этим правилам соответствуют алгоритмы раскраски цветных рисунков с изображением множества Мандельброта. Само множество при этом окрашивается, например, в черный цвет. Точки, лежащие снаружи М, окрашиваются в различные цвета в зависимости от числа итераций, требуемых, чтобы пересечь границы круга радиуса 2. Один и тот же цвет соответствует одному и тому же числу итераций N.
Глядя на рисунки, изображающие различные части множества Мандельброта или на соответствующие им множества Жюлиа, поражаешься огромному количеству информации, которое в них содержится. Это бесконечное разнообразие форм и конструкций, которое открывается нашему взгляду, никак не сопоставимо с банальной простотой формулы, их породившей: zn+1 —> z\ + с. Можно считать, что итерационный процесс, определяемый этой формулой, — это необычайно эффективный способ расшифровки информации, содержащейся в исходных данных (значении комплексного параметра с и положении начальной точки 2?), которые являются своеобразным ключом.
Подобное явление наблюдается и в биологии, где вся генетическая информация о будущем организме заложена в структуре малень-
77 кой молекулы ДНК. Это, конечно, не означает, что множество Мандельброта может служить моделью какого-либо биологического явления. Оно лишь, как и рассмотренные нами ранее простейшие JI-сис-темы, представляет собой пример того, как достаточно простая динамическая система может развить, казалось бы, незначительную информацию, содержащуюся в ключе, и породить разнообразные высокоорганизованные структуры.
1.3.6 Комплексные Ньютоновы границы
Еще одним примером появления фрактальных границ областей притяжения является алгоритм Ньютона для приближенного нахождения корней уравнения f(z) = 0 в комплексной плоскости. Для функции действительной переменной его также часто называют методом касательных. В этом случае он сводится к следующему.
Пусть нам задана функция /(ж), для которой известно приближенное значение ее корня xi, а также значение функции в этой точке f(xі) и ее первой производной f'(xі). Тогда, проводя касательную к графику функции /(ж) в этой точке и определяя ее пересечение с осью ж, мы получим уточненное положение корня, равное Х2 (см. рис. 1.65).
Рис. 1.65. Метод касательных.
Поскольку уравнение касательной к графику функции /(ж) в точке Xi выглядит следующим образом
2/ = //(жі)(ж-жі) + /(жі), (1.71)
78 то, приравнивая у нулю, получаем, что уточненное значение корня X2 связано с предыдущим значением х\ соотношением
X2 = Х\ —
/ы
(1.72)
/'Ы'
Беря теперь значение X2 в качестве приближенного и повторяя этот алгоритм, находим следующее значение и т. д. Этот процесс быстро сходится к истинному значению корня. Грубо говоря, число верных десятичных знаков удваивается на каждом шаге. Этот метод не менее эффективен и для комплексных чисел.
Это значит, что, стартовав в непосредственной близости от значения корня уравнения f(z) = 0, мы, используя итерационный алгоритм
получим последовательность комплексных чисел, быстро сходящуюся к этому корню. Возникает правомерный вопрос, а что будет, если начальная точка Zq выбрана в плоскости комплексных чисел не вблизи от корня, а произвольным образом?
Этот вопрос в 1977 г. был задан молодому американскому математику Джону Хаббарду (John Hubbard) его студентами-первокурс-никами, когда он преподавал им математику в Парижском университете Орсэй. Хаббард довольно быстро доказал, что для уравнения второй степени данная последовательность всегда будет сходиться к ближайшему корню. Исключение составляют случаи, когда начальная точка Zq равноудалена от обоих корней, т. е. лежит на прямой, проведенной через середину отрезка, соединяющего два корня, перпендикулярно ему. В этом случае последовательность итераций все время остается на этой прямой, совершая хаотическое движение.
