Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Второе преобразование превращает квадрат ABCD в квадрат A2B2C2D2, который имеет размер в 85% от оригинала, повернут по часовой стрелке относительно вершины А на угол в 2.7° и смещен по вертикали вверх на расстояние в 1.6 см. 9
Третье аффинное преобразование переводит квадрат ABCD в параллелограмм A3B3C3D3. Для этого сторона квадрата AB сжимается в 3.07 раза и поворачивается вокруг точки А на угол в 46.25° против часовой стрелки. Сторона же квадрата AD этим преобразованием сжимается примерно в 3.12 раза и поворачивается в том же направлении на угол в 52.6°. После чего образовавшийся (близкий к ромбу) параллелограмм сдвигается вертикально вверх на 1.6 см.
Наконец, четвертое преобразование трансформирует исходный квадрат в параллелограмм A4B4C4D4. Для этого сторона AB сжимается в 3.29 раза и поворачивается по часовой стрелке вокруг начала координат на угол примерно в 137.7°. Сторона же AD сжимается в 2.74 раза и поворачивается на угол в 30.4°, но против часовой стрелки! Затем получившийся параллелограмм смещается на 0.44 см по вертикали вверх.
9 Сантиметр здесь несколько условная единица длины.
57 Заметим, что в результате четвертого преобразования направление обхода вершин параллелограмма A4B4C4D4 меняется на противоположное по сравнению с исходным квадратом ABCD. Другими словами, четвертое преобразование содержит в себе операцию отражения (например, в вертикальной плоскости) и переводит в итоге правую систему координат в левую. Смысл этого действия для получения правильного изображения листа папоротника мы выясним несколько позже.
Давайте теперь исключим первое преобразование из нашей системы функций. В результате получим СИФ вида
а b с d е f P
0.85 0.04 -0.04 0.85 0 1.6 0.86
0.2 -0.26 0.23 0.22 0 1.6 0.07
-0.15 0.28 0.26 0.24 0 0.44 0.07
(1.53)
всего с тремя функциями и исправленными вероятностями (которые в сумме всегда должны давать единицу). Изображение, полученное итерациями этой СИФ, показано ниже на рис. 1.46 (слева).
Рис. 1.46. Лист без стебля (слева) и стебель без листьев (справа).
Как видно, в нем отсутствует стебель. Это и понятно. Ведь за формирование стебля как раз и ответственно первое и второе аффинные преобразования. Действительно, если мы теперь оставим только их
а b с d е f P
0 0 0 0.16 0 0 0.05
0.85 0.04 -0.04 0.85 0 1.6 0.95
(1.54)
то получим стебель, изображенный на рис. 1.46 справа.
58 Довольно очевидно, что за слабый изгиб листа папоротника вправо ответственен поворот на угол в 2.7°, фигурирующий во втором преобразовании. Если мы теперь исключим этот поворот, то получим систему функций вида
а b с d е f P
0 0 0 0.16 0 0 0.01
0.85 0 0 0.85 0 1.6 0.85
0.2 -0.26 0.23 0.22 0 1.6 0.07
-0.15 0.28 0.26 0.24 0 0.44 0.07
(1.55)
Соответствующее этой системе изображение аттрактора приведено на рис. 1.47 слева. Как и следовало ожидать, в нем уже нет из-
Рис. 1.47. Прямой лист папоротника. Слева — (1-55), справа — (1.56).
гиба, лист папоротника получился прямой. Если теперь трансляцию в четвертом преобразовании сделать такой же, как и в третьем, т. е. использовать систему функций
а b с d е f P
0 0 0 0.16 0 0 0.01
0.85 0 0 0.85 0 1.6 0.85
0.2 -0.26 0.23 0.22 0 1.6 0.07
-0.15 0.28 0.26 0.24 0 1.6 0.07
(1.56)
то получим изображение, приведенное на рис. 1.47 справа. Таким образом, трансляция в третьем и четвертом преобразовании задает относительное положение листьев папоротника по обе стороны от стебля.
59 Кажется, теперь мы начинаем понимать, как работает система функций (1.52). Первые два преобразования формируют стебель, второе и третье формируют листья с одной стороны, а второе и четвертое — с другой стороны стебля (см. рис. 1.48). Относительное положение листьев определяется трансляцией.
/
4Ґ-
% ^
4V
'!!У
Ч/
Рис. 1.48. Аттрактор второго и третьего (слева) и второго и четвертого (справа) преобразований системы функций (1.52).
Нам осталось разобраться, зачем нужно отражение в четвертом преобразовании. Для этого воспользуемся упрощенной версией системы функций (1.52). А именно, для третьего и четвертого преобразований используем матрицы A^ соответственно:
, _1 I cos 60° — sin 60° \ * _l/-cos60° sin 60° \ ,
3 ~ 3 [ sin 60° cos 60° ) ' 4 ~ 3 [ sin 60° cos 60° ) ' ^ ' '
Первая из них соответствует сжатию в 3 раза по обеим осям и повороту против часовой стрелки на угол 60°. Вторая в дополнение к первой содержит еще и операцию отражения в вертикальной плоскости, т.е. замену X —> —X. В итоге вместо (1.52) мы приходим к системе функций
а b с d е f P
0 0 0 0.16 0 0 0.01
0.85 0.04 -0.04 0.85 0 1.6 0.85
0.1667 -0.2887 0.2887 0.1667 0 1.6 0.07
-0.1667 0.2887 0.2887 0.1667 0 0.44 0.07
(1.58)
Результат действия этой системы функций показан на рис. 1.49 слева.
60 Если же теперь для четвертого преобразования мы вместо поворота на +60° и последующего отражения в вертикальной плоскости используем поворот на —60° (т.е. по часовой стрелке), то получим систему функций
(1.59)
Результат ее итераций показан на рис. 1.49 справа.
