Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 1.49. Лист папоротника с правильным изгибом (слева) и с неправильным (справа).
Сравнивая два изображения, мы понимаем, что отражение приводит к правильному изгибу тех листьев, которые расположены с правой стороны от стебля. Если бы во втором преобразовании не содержалось этого изгиба, то лист папоротника был бы прямой и результат действия обоих преобразований (1.58) и (1.59) тогда, очевидно, был бы одинаков.
Меняя параметры аффинных преобразований, входящих в систему функций (1.52), можно получить различные модификации листа папоротника (см. рис. 1.50). Часто они оказываются совсем не похожими на своего "родителя".
И в завершение этого параграфа приведем СИФ для растения, которое особенно популярно в канун нового года. Это, безусловно, елка,
а b с d е f P
0 0 0 0.16 0 0 0.01
0.85 0.04 -0.04 0.85 0 1.6 0.85
0.1667 -0.2887 0.2887 0.1667 0 1.6 0.07
0.1667 0.2887 -0.2887 0.1667 0 0.44 0.07
61 Рис. 1.50. Представители "семейства папоротниковых".
и построить ее можно по образу и подобию листа папоротника, надо только, чтобы ее ветки смотрели не вверх, как листья у папоротника, а вниз (см. рис. 1.51). Левая елка получена с помощью системы
Рис. 1.51. Елки.
функций (1.60), где в качестве третьего и четвертого преобразований использованы соответственно повороты на +120° и —120° со сжатием в 3 раза по обоим осям
а b с d е f P
0.1 0 0 0.16 0 0 0.01
0.85 0 0 0.85 0 1.6 0.85
-0.1667 -0.2887 0.2887 -0.1667 0 1.6 0.07
-0.1667 0.2887 -0.2887 -0.1667 0 1.6 0.07
(1.60)
62 Правая елка получена с помощью системы функций (1.61)
а b с d е f P
0.1 0 0 0.16 0 0 0.01
0.85 0 0 0.85 0 1.6 0.73
-0.2357 -0.2357 0.2357 -0.2357 0 1.6 0.13
-0.2357 0.2357 -0.2357 -0.2357 0 1.6 0.13
(1.61)
где, в отличие от предыдущего случая, поворот в двух последних преобразованиях произведен на угол ±37г/4. Использованы также несколько другие значения вероятностей. Кроме того, для большей правдоподобности изображения в обоих случаях мы несколько утолщили "ствол" (подумайте, за счет чего?).
1.3 Нелинейные комплексные отображения
1.3.1 Квадратичные отображения
Еще одним изящным алгоритмом создания фрактальных объектов на плоскости является использование комплексных отображений, сопоставляющих одному комплексному числу zn = хп-\-%Уп другое комплексное число zn+i=xn+i+iyn+i по итерационному правилу zn+i=f(zn), где f(z) — некоторая нелинейная функция z, п — номер итерации. Из наиболее известных примеров такого рода рассмотрим простейшее квадратичное отображение
zn+1 = f(zn) = Z2njT с, (1.62)
где с = Шс + i^sc — некоторая комплексная константа с вещественной ^Rc и мнимой Sc частью. Естественно, что это отображение всегда может быть представлено в виде двух вещественных отображений
хп+1 = хп — Уп + , .
о ,о (1-63)
Уп+1 — АХпУп ~Г ^c,
в соответствии с которыми точка на комплексной плоскости с координатами (хп, уп) переходит в точку с координатами (хп+і, уп+1). Кажущаяся простота этого алгоритма никак не сопоставима с потрясающей красотой и разнообразием тех фрактальных структур, которые при этом возникают.
63 1.3.2 Неподвижные точки. Циклы
Однако, прежде чем приступить к их геометрическому построению, введем необходимые термины и понятия. Неподвижной ТОЧКОЙ Z отображения zn+i = f(zn) мы будем называть корень уравнения f(z) = = z (его также называют неподвижной точкой функции f(z)). Очевидно, что, начав процесс итераций в этой точке, мы никогда ее не покинем. Можно сказать, что это есть своеобразное состояние равновесия. Однако, как известно, равновесие может быть трех типов: устойчивым, неустойчивым и безразличным. В полной аналогии с этим неподвижная точка отображения тоже может быть трех типов: притягивающей, отталкивающей и нейтральной 10.
Если, стартовав в непосредственной близости от неподвижной точки, мы будем в процессе итераций к ней неограниченно приближаться, то такая неподвижная точка называется притягивающей. Соответственно, стартовав в непосредственной близости от отталкивающей неподвижной точки, мы будем от нее удаляться. Нейтральная неподвижная точка характеризуется тем, что, стартовав в достаточно малой ее окрестности, мы будем все время находиться в этой окрестности, не приближаясь и не удаляясь от нее.
Чтобы определить характер неподвижной точки z отображения f(z), надо вычислить производную f'(z). Если \f'(z)\ < 1, то точка z является притягивающей, если \f'(z)\ > 1, то отталкивающей, и наконец, если \f'(z)\ = 1, то неподвижная точка является нейтральной. Эти утверждения станут понятными, если разложить функцию f(z) в ряд Тейлора вблизи точки z:
Тогда, принимая во внимание, что f(z) = z, отображение zn+1 = f(zn) можно представить в виде
Отсюда видно, что расстояние до неподвижной точки \zn — z\ в процессе итераций растет, если \f'(z)\ > 1, уменьшается, если \f'(z)\ < 1, и остается постоянным (в линейном приближении), если \ f'(z)\ = 1.
10 В первых двух случаях ее также называют устойчивой и неустойчивой соответственно.
f(z) = f(z) + (z-z)f\z).
