Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Однако уже для уравнения 3-й степени такой же простой ответ ему найти не удалось. В этой неудаче он был неодинок. Оказывается, еще в конце XIX века с этой же проблемой безуспешно сражался и Артур Кэли (Arthur Cayley). Он также нашел ответ для уравнения 2-й степени и анонсировал случай многочленов более высокой степени как будущую публикацию, но ей так и не суждено было появиться. Однако у Хаббарда было существенное преимущество — в его распоряжении
Zn+1 — Z11
f(Zn)
(1.73)
f'(ZnY
79 был компьютер! К концу семестра он вместе со своими студентами уже получил несколько важных экспериментальных результатов.
Рис. 1.66. "Пирог Ньютона", Z1 = 1, Z2 = -1/2 + гд/3/2, Z3 = -1/2 - гд/3/2.
Они начали с простейшего уравнения третьей степени Z3 — 1 = 0. Это уравнение, как известно, имеет 3 корня — один расположенный на действительной оси и равный 1 и два комплексно- сопряженных: — 1/2 + іл/3/2 и —1/2—іу/З/2. Нанесенные на комплексную плоскость, они образуют равносторонний треугольник, так что если циферблат часов принять за единичную окружность, то один корень соответствует 3 часам, другой 7 и третий 11. Легко показать, что эти корни действительно являются притягивающими неподвижными точками (аттракторами) отображения (1.73) с f(z) = Z3 — 1
* * - (1.74)
Стартовав в непосредственной окрестности каждого из корней, метод Ньютона быстро сходился к этому корню. В самом грубом приближении комплексную плоскость можно было, как пирог, разделить на три равные части, каждая из которых являлась областью притяжения соответствующего корня (см. рис. 1.66). Эта была именно та картинка, которую первоначально представлял себе Хаббард (и многие другие до него). Однако более скрупулезное компьютерное исследование выявило, что геометрия границ областей притяжения имеет гораздо более сложную форму.
Так, если раскрашивать разные области притяжения разным цветом, то на экране монитора возникала картинка, изображенная на
80 рис. 1.67. Из этого рисунка видно, что граница областей притяжения состоит из сильно переплетенных самоподобных (фрактальных) структур. Оказалось, что на границе между любыми двумя цветами всегда расположена гирлянда островков третьего цвета. Границы этих островков, в свою очередь, состоят из гирлянд островков меньшего размера соответствующего дополнительного цвета и т.д (см. рис. 1.68). Непрерывно уменьшаясь в размерах, детали границы постоянно воспроизводят самих себя. В результате оказывается, как неправдоподобно это не звучит, что каждая точка такой фрактальной границы соседствует сразу с тремя областями притяжения!
Рис. 1.67. Структура границ областей притяжения трех корней уравнения z3 = 1.
Если теперь взять произвольное уравнение третьей степени, то в некоторых случаях, наряду с областями притяжения к одному из трех корней, на комплексной плоскости можно обнаружить области начальных значений, стартуя из которых точка притягивается к циклу, который не связан ни с одним из корней. Интересно, что форма этих областей удивительно напоминает множества Жюлиа для многочленов второй степени. Можно сказать, что существуют "хорошие" (по отношению к методу Ньютона) уравнения, для которых почти все начальные точки ведут к какому-либо корню, и "плохие", для ко-
81 торых метод Ньютона иногда приводит к появлению притягивающего цикла.
Рис. 1.68. Увеличенный участок границы.
Таким образом, если коэффициенты нашего уравнения зависят от некоторого комплексного параметра с, то, меняя значения этого параметра, мы будем получать либо хорошие, либо плохие уравнения. Если теперь на комплексной плоскости [с] окрашивать, скажем, в черный цвет те области, которые соответствуют плохим уравнениям, то при сильном увеличении этих областей можно увидеть разбросанные повсюду маленькие черные копии множества Мандельброта.
82 2 МУЛЬТИФРАКТАЛЫ
2.1 Геометрическое описание мультифракталов 2.1.1 Что такое мультифрактал?
В этой части мы изложим основы теории мультифракталов — неоднородных фрактальных объектов, для полного описания которых, в отличие от регулярных фракталов, недостаточно введения всего лишь одной величины, его фрактальной размерности D, а необходим целый спектр таких размерностей, число которых, вообще говоря, бесконечно. Причина этого заключается в том, что наряду с чисто геометрическими характеристиками, определяемыми величиной D1 такие фракталы обладают и некоторыми статистическими свойствами.
В
L", / l. , .
As.І/ ;
?с,?і і,, .'
AL t.L. L... : .
Ij aV.. /... all, „ 1
L, ,'
і:./ ^
LJ.,.і.,. L,.,:..
ij,.. ?.
ib..і... ?'..,' А і,. І; . L. ,
^ h.L. p.c., L.., Д^. L... і.........
Л A A't. it's- t. . Ajh - Л - A . A/-, r. ,- , r. , . .- :. / . ,-
ADC
Рис. 2.1. Игра в хаос с неравными вероятностями. Показано IO7 итераций.
Проще всего пояснить, что понимается под "неоднородным фракталом" на примере треугольника Серпинского, полученного с помощью метода случайных итераций, который мы рассмотрели в первой части. Мы показали, что система итерируемых функций для этого фрактала состоит из трех линейных преобразований на комплексной плоскости (1.22), каждое из которых выбиралось с одинаковой вероятностью, равной 1/3. В результате мы получили рис. 1.27.
