Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку точки в процессе итераций с этими двумя функциями плотно заполняют на плоскости некоторую область, фрактальная размерность соответствующего аттрактора равна двум. Это естественно, так как совпадает с фрактальной размерностью кривой Пеано для одинарного дракона. Однако граница этой области фрактальна и имеет дробную размерность. Можно показать, что генератором для такой границы может служить следующая конструкция (см. рис. 1.36).
Рис. 1.36. Генератор контура двойного дракона.
45 Она образована из одного большого отрезка длиной l\ = l/s/2 и двух маленьких с длинами h = h = 1/2\/2 = if, расположенных параллельно друг другу и перпендикулярно большому. Поскольку в нашем распоряжении имеется два масштаба, то фрактальная размерность контура D определяется при этом из уравнения (см. (2.57))
Zf + 2Zf = 1. (1.26)
Оно эквивалентно кубическому уравнению для величины х =
2D/2
Ж3-Ж2-2 = О, (1.27)
которое имеет один вещественный корень Xq « 1.69562. Отсюда находим, что D « 1.5236.
Рис. 1.37. Контур двойного дракона.
Система итерируемых функций, осуществляющая преобразование единичного отрезка (0,1) в вышеобозначенный генератор, выглядит следующим образом
ш =
Hz) = (1.28)
h{z) = + 7-^7.
^ v ; 2л/2 4 4
Если теперь в методе случайных итераций выбирать эти преобразования с одинаковой вероятностью (равной 1/3), то результирующее множество точек будет неоднородным вдоль границы (см. рис. 2.10)
46 и, как мы увидим в Части 2, будет представлять собой по сути муль-тифрактал. Однако однородность распределения будет гарантирована в случае выбора вероятностей в соответствии с алгоритмом (2.58)
Pl = If « 0.59, р2=р3 = 1° & 0.201. (1.29)
Заметим, что согласно формуле (1.26) сумма этих вероятностей будет равна единице. Тогда мы получим рис. 1.37.
Найдем теперь систему итерируемых функций для самого дракона Хартера-Хейтуэя. На рис. 1.38 изображен принцип построения дракона. Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (изображенный на рисунке пунктиром) заменяется на следующем шаге на два ему подобных треугольника ADB и ВЕС. Зная координаты концов этих отрезков (они показаны в круглых скобках), можно вычислить коэффициенты двух линейных преобразований, которые осуществляют эту замену.
А (-1,1)
E(O1I)
\
\
\
\
\
\
\
Ч
\
/
' C(I1I)
/
/
/
/
/
/
/
/
J/
D (-1,0)
В (0,0)
Рис. 1.38. Генератор для построения СИФ дракона Хартера-Хейтуэя.
Первое преобразование переводит треугольник ABC в треугольник ADB, причем вершины треугольников переходят друг в друга по правилу А —А, В 4 D и С 4 В. Оно соответствует повороту треугольника ABC вокруг начала координат (т.е. точки В) по часовой стрелке на угол 45°, сжатию вдоль осей X и Y в л/2 раз и трансляции на единицу влево:
ш =-^ze-W - 1. (1.30)
47 Рис. 1.39. Дракон Хартера-Хейтуэя, построенный методом случайных итераций. Слева — 3 • IO4 итераций, справа — IO6.
Второе преобразование переводит треугольник ABC в СЕВ, причем вершины треугольников переходят друг в друга по прави-лу А ->- С, В ->- E и С ->- В:
f2(z) = J=Ze-**'* +І. (1.31)
Оно соответствует повороту треугольника ABC вокруг точки В на угол в 135° по часовой стрелке, сжатию вдоль осей X и Y в л/2 раз и трансляции на единицу вверх в положительном направлении оси Y.
Рис. 1.40. Гирлянда "волков", полученная с помощью функций (1.30) и (1.32).
Эти два линейных комплексных преобразования и составляют систему итерируемых функций, аттрактором для которой является дракон Хартера-Хейтуэя. В этом нетрудно убедиться с помощью метода случайных итераций. Выбирая эти два преобразования случайным образом, с одинаковой вероятностью 50%, получим для 3 • IO4 и IO6 итераций множества точек, изображенные на рис. 1.39.
48 Интересная модификация возникает, если мы второе преобразование выберем так, чтобы переход треугольника ABC в треугольник ВЕС происходил по правилу А —^ В, В ч E и С ч С. Это соответствует функции
f2(z) = -^z*e^ + i (1.32)
вместо (1.31). Здесь звездочка означает операцию комплексного сопряжения. Казалось бы, невинная затея, и результат не должен от этого измениться. Рис. 1.40, однако, свидетельствует об обратном.
1.2.4 Сжимающие аффинные преобразования
Рассмотренные выше линейные преобразования на комплексной плоскости являются частными случаями более общего аффинного преобразования плоскости
хп+1 = ахп + Ьуп + е,
уп+1 = CX11 + dyn + /. (1.33)
Его можно представить в матричной форме
Так, например, согласно уравнению (1.21) преобразование можно записать в виде
:::) - (т Л) (:) ¦ U) • »»>
Видно, что оно сводится к двухкратному сжатию вдоль осей X и Y, и сопровождается трансляцией на некоторый вектор.
Преобразование, соответствующее функции (1.30), можно записать таким образом
)-(Z й )(:)4 v) • »«>
Оно сводится к сжатию в л/2 раз по обоим осям, повороту на 45° и к трансляции.
49 Наконец, преобразование, задаваемое функцией (1.32), соответствует такому же сжатию, отражению в горизонтальной плоскости, повороту на угол в 45° и трансляции
