Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Божокин С.В. -> "Фракталы и мультифракталы " -> 27

Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.

Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы — Ижевск: НИЦ, 2001. — 128 c.
Скачать (прямая ссылка): fraktaliimultifraktali2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 36 >> Следующая


р=1

Pi P2

РЇ Р1Р2 P2Pi P2

Рис. 2.4. Неоднородное канторовское множество.

Повторяя эту процедуру некоторое число раз, мы приходим к следующей картине распределения точек. На шаге п наше множество СОСТОИТ ИЗ 2й отрезков ДЛИНОЙ 1/3И, заселенных С вероятностями Pi, Pi~lP27 Pi~2P2i ---IP2 (не в порядке их расположения!). Нетрудно сообразить, что число отрезков, характеризуемых вероятностью Pi-mP^, равно С™, т.е. числу сочетаний из п элементов по т. В результате при п—>ооирі^1/2 мы в конце концов приходим к неоднородному фрактальному множеству.

На п шаге нашей процедуры обобщенная статистическая сумма (2.3) для нашего мультифрактала имеет вид обычного бинома Ньютона

п

Z(q, є) = E С? (рї~тр7)9 = CPf + РІГ - (2.35)

т=0

Поскольку на этом шаге размер ячейки є = 3~и, то мы на основании соотношения (2.6) приходим к следующему уравнению для спектра

96 обобщенных фрактальных размерностей D1

ч

/1 \ nr(q)

• (2-36)

Устремляя п —>• (x) с учетом определения r(q), находим

_ _Ы (pi+pq2) Uq~ (q- 1)1пЗ- {2-O7)

Если pi = р2 = 1/2, то мы имеем однородный фрактал, все обобщенные фрактальные размерности Dq которого одинаковы и равны хаусдорфовой размерности исходного канторовского множества исключенных средних третей

Dq = (2.38)

Если же pi ф 1/2, то канторовское множество является неоднородным. На рис. 2.5 изображена зависимость Dq для значения вероятности pi = 1/4 и р2 = 3/4. Значение хаусдорфовой размерности Dq = In 2/In 3 = 0.6309 совпадает в этом случае с размерностью

Рис. 2.5. Спектр обобщенных размерностей для неоднородного канторовского множества исключенных средних третей с pi = 0.25, р2 = 0.75.

однородного канторовского множества. Это довольно естественно, так как наше множество расположено на фрактале с этим значением размерности. Этот фрактал в литературе имеет специальное название носитель (support) исходного мультифрактального множества.

97 По этой причине величину D0 часто называют размерностью носителя мультифрактала.

Раскрывая неопределенность в формуле (2.37), находим информационную размерность

= Inp1 ±р2 Inp2 =

In 3 v '

Она, как и следовало ожидать, меньше размерности Dq, а корреляционная размерность D2 = 0.4278, в свою очередь, меньше, чем D\. Таким образом, мы видим, что действительно в этом случае Dq является монотонно убывающей функцией q.

Предельных значений эта функция достигает, как мы говорили, при q = ±оо. Эти значения Dmm = D00 и -Dmax = D-Q0 равны

Doo = -l^ = 0.2618 и ZL00 = = 1.2618. (2.40)

In 3 In 3

Носитель мультифрактального множества может сам по себе и не являться фракталом. Например, если мы исходный единичный отрезок в предыдущем примере разделим на первом шаге на 2 равные части с длиной 1/2. Первой части припишем вероятность (меру) pi, а второй р2. Далее с каждым из двух образовавшихся отрезков поступим аналогичным образом и т. д. Нетрудно тогда сообразить, что спектр обобщенных фрактальных размерностей будет определятся из выражения, аналогичного (2.37)

1 (q — 1) In 2 V }

В этом случае размерность Dq = 1, так как теперь носителем нашего мультифрактала является весь единичный отрезок целиком, т. е. объект с пространственной размерностью d, равной единице. Все остальные обобщенные фрактальные размерности заключены в интервале между

D00 = - Inp2/ In 2 и D-оо = - Inpi/ In 2

(.Pi < Рг)' График функции Dq в этом случае выглядит качественно так же, как показано на рис. 2.5.

98 2.1.7 Неоднородный треугольник Серпинского

Подобно неоднородному канторовскому множеству может быть также проанализирован неоднородный треугольник Серпинского, изображенный на рис. 2.1. Два первых шага его покрытия треугольниками меньшего размера показаны на рис. 2.2. Поэтому по аналогии с формулой (2.35) статистическую сумму на п-м шаге в этом случае можно записать в виде

Z{q,s) = (p\+pq2+pl)n, (2.42)

где величины pi = 0.9, р2 = Рз = 0.05 соответствуют вероятностям выбора вершин треугольника, использованным при создании рис. 2.1.

Рис. 2.6. Функция Dq для неоднородного треугольника Серпинского с pi = 0.9, Р2=Рз = 0.05.

Если стороны исходного треугольника принять за единицу, то размер треугольной ячейки на п шаге равен є = 2~п и уравнение для определения спектра Dq имеет вид, аналогичный (2.36)

/\ \ nr{q)

q\n

(2.43)

(р\ +pq2+ pi) Отсюда, устремляя п —>• сю, находим Dq

= _1п(гі+гі+гі)д (2>44)

q (q — 1) In 2 V ;

На рис. 2.6 изображена эта функция для означенных выше вероятностей pi, р2 и

99 Рис. 2.7. Заселенность множества на разных расстояниях от вершины А.

Размерность носителя мультифрактала Dq = In 3/In 2 = 1.5849 и совпадает с фрактальной размерностью салфетки Серпинского. Информационная размерность

= ,Pilnp1+P2 Inp2+P3In р3 = ( J

In 2 v '

и корреляционная D2 = 0.2951 оказываются в этом случае существенно меньше величины Dq. Это, разумеется, связано с сильным разбросом значений вероятностей P1 = 0.9 и р2 = р3 = 0.05. Минимальное и максимальное значения D±00 равны

D00 = = 0.152 и D^00 = = 4.3219. (2.46)
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 36 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed