Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
In 2 In 2 v '
Этим предельным значениям можно придать следующий физический смысл. Рассмотрим, например, величину D00 = Опишем вокруг треугольника ABC окружность радиуса R с центром в вершине А. Спрашивается, как будет зависеть от R относительная доля всех точек ра фрактального множества, расположенных внутри этой окружности? Как следует из рис. 2.7, для окружности радиуса R = = 1/2" эта доля равна ра = р". Действительно, внутри первой окружности, радиус которой равен единице (n = 0), расположены все точки
100 множества, т.е. ра = 1. Внутри второй окружности радиуса R = = 1/2 доля всех точек ра =р\ (см. рис. 2.2). Внутри третьей окружности радиуса R= 1/4 доля точек ра = р\ и т.д.
Исключая из этих соотношений величину п, находим
Pa=Pi= pilnR/ln2 = ІГ llWln2 = Rd^. (2.47)
Аналогичным образом для доли всех точек внутри окружностей с центром в вершинах треугольника В или С получим
рь=рс = Rd^. (2.48)
Качественно эти степенные зависимости легко понять. Основная масса всех точек расположена вблизи вершины треугольника А, поэтому при малых R <Cl доля точек pa(R) растет с R сравнительно быстро. И наоборот, вблизи вершин В или С расположена лишь сравнительно небольшая часть всех точек множества. Поэтому вблизи нуля с увеличением радиуса функции Pb^c(R) растут значительно медленнее.
2.1.8 Канторовское множество с двумя характерными масштабами длины
Приведем еще один пример неоднородного канторовского множества, где причиной неоднородности, однако, является наличие нескольких пространственных масштабов при том, что все меры (т. е. вероятности) pi совпадают. Как и раньше, стартуем с отрезка единичной длины. На первом шаге заменим его двумя отрезками с длинами Ii = 0.25 и I2 = 0.5, примыкающими соответственно к его левому и правому концам. Обоим отрезкам припишем одинаковую меру р = 1/2. Затем повторим ту же процедуру с каждым из этих двух отрезков. В результате получится уже 4 отрезка с длинами /2, Iil2, I2Ii и I\ и одинаковыми мерами, равными 1/4. Продолжая этот процесс до бесконечности, мы получим в конце концов неоднородное канторовское множество, т. е. мультифрактал. Первые шаги этого процесса изображены ниже на рис. 2.8.
Чтобы определить спектр обобщенных фрактальных размерностей в этом случае, нам надо видоизменить соотношение (2.6), определяющее функцию r(q), так как теперь в нашем распоряжении имеется
101 . ti = 1/4. і-1
«2=1/2
U
I^t2 і-1
і-1
M=1 M=2 M=4
OO
Рис. 2.8. Неоднородное канторовское множество с двумя характерными масштабами длины Ii = 1/4, I2 = 1/2 и pi = р2 = 1/2.
не один характерный масштаб є, а много. Итак, рассмотрим какое-то фрактальное множество, расположенное в ограниченной области (/-мерного Евклидового пространства. Предположим, что на некотором этапе его разбиения мы разделили его на некоторое количество M достаточно малых непересекающихся кусочков, Si, S2, • •Sm5 так что каждый из этих кусочков имеет меру pi и лежит внутри сферы радиуса U. При этом все U ограничены сверху условием U < I. Определим теперь обобщенную статистическую сумму следующим образом
M пя
= (2-49)
г=1 H
Основное наше утверждение заключается в том, что при достаточно большом M величина Г будет порядка единицы, лишь только если будет выполнено условие
г = r(q) = (q- 1) A7. (2.50)
Мы оставим здесь эту теорему без доказательства, обратив лишь внимание на то, что соотношение (2.6) является ее частным случаем, когда все Li одинаковы и равны є.
Применим теперь эту теорему к одному частному случаю, когда к нашему множеству применима так называемая рекурсионная процедура разбиения 13. Она заключается в следующем. Пусть вначале мы имеем множество с мерой 1 и размером 1 (например, отрезок единичной длины). Разделим это множество на куски Si (i = 1, 2,..., т)
13 Частный случай такой процедуры изображен на рис. 2.3.
102 с мерами Pi и размерами U < 1. На этом первом шаге мы можем записать функцию Г в виде
ГІ(9,г) = ??- (2.51)
і=1 Ч
На втором шаге каждый из этих га кусков, в свою очередь, делится на га кусочков с мерами, уменьшенными на множители pj, и размерами, уменьшенными на множители Ij (j = 1,2,...,га). В результате мы получим уже га2 кусочков. Функция Г на этом шаге, очевидно, равна
Г2(д, г) = [Гі(д,т)]2. (2.52)
На п шаге по индукции получаем тп кусочков и
Гп(9,т) = [Гі(д,т)]\
В пределе достаточно большого числа п таких последовательных разбиений наша статистическая сумма будет стремиться либо к нулю, либо к бесконечности. И лишь в одном случае она будет порядка единицы. Это произойдет, если
Гі(д,т) = 1. (2.53)
Это и есть уравнение для функции r(q), а функция Гі (q,r) называется генератором для такого мультипликативного процесса разбиения множества.
В нашем конкретном примере канторовского множества, изображенного на рис. 2.8, величина га = 2, и генератор равен
rita,r) = fS + ff. (2.54)
п 12
Подставляя сюда р\ = р2 = 1/2, l\ = 1/4 и I2 = 1/2, получаем уравнение для T
2Т + 4Т = 2q. (2.55)
Решая это квадратное уравнение, находим функцию r(q)
