Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
_ In (Vi + 2<?+2 - 1)
т(д) = -—-- 1. (2.56)
103 Весь спектр обобщенных фрактальных размерностей заключен в этом случае в интервале 1/2 < Dq < 1. Сама же функция Dq изображена на рис. 2.9. Хаусдорфова размерность Dq = 0.6942. В общем случае ее необходимо определять из уравнений (2.53) и (2.51), где надо положить q = 0
т
E Z?0 = 1- (2-57)
І = 1
Отсюда становится ясно, что все обобщенные фрактальные размерности Dq совпадают, и функция Dq = Dq является константой в том и только в том случае, если все меры Pi связаны с длинами отрезков Ii соотношением
Pi = If0. (2.58)
Для этого класса фракталов это есть очевидное условие того, что все точки фрактального множества равномерно распределены по фракталу. В противном случае фрактал является неоднородным, т. е. фактически представляет собой мультифрактал.
Рис. 2.9. Спектр обобщенных размерностей для неоднородного канторовского множества, изображенного на рис. 2.8, с двумя характерными масштабами длины Zi = 1/4 и I2 = 1/2 и одинаковыми мерами pi = р2 = 1/2.
Условию однородности удовлетворяет, очевидно, классическое канторовское множество исключенных средних третей с т = 2, р\ = р2 = = 1/2 и l\ = I2 = 1/3. Для него уравнение (2.53) имеет вид
2^ = 1, (2-59)
104 которое дает
1п2 In 2 ,
т = (9_1)ьз или q= 0 = Ш' ( }
В этом случае 1/2 = (1/3)1п2/1п3, т.е. действительно pi = if0.
%
і?" ¦ X'
к" Г'
Ъъ,
Рис. 2.10. Неоднородный контур двойного дракона с pi = = Рз = 1/3.
Теперь становится понятным, почему в первой части пособия для получения контура двойного дракона (см. рис. 1.37) мы выбрали в методе случайных итераций вероятности (1.29) в соответствии с формулой (2.58). Так, если бы наш выбор каждого из трех преобразований (1.28) был бы равновероятен, то мы пришли бы к рис. 2.10. Видно, что точки вдоль контура распределены теперь крайне неравномерно по сравнению с рис. 1.37, и этот контур фактически представляет собой мультифрактал.
2.2 Функция мультифрактального спектра f(a) 2.2.1 Спектр фрактальных размерностей
В предыдущей главе мы сформулировали понятие мультифрактала — объекта, представляющего собой неоднородный фрактал. Для его описания мы ввели набор обобщенных фрактальных размерностей Dq, где q принимает любые значения в интервале —оо < q < оо. Однако величины Dq не являются, строго говоря, фрактальными размерностями в общепринятом понимании этого слова 14.
14
По этой причине они и называются обобщенными размерностями.
105 Поэтому часто наряду с ними для характеристики мультифрак-тального множества используют так называемую функцию муль-тифрактального спектра f(a) (спектр сингулярностей мультифрактала), к которой, как мы увидим в дальнейшем, больше подходит термин фрактальная размерность. Мы покажем, что величина /(ск) фактически равна хаусдорфовой размерности некоего однородного фрактального подмножества из исходного множества которое дает доминирующий вклад в статистическую сумму при заданной величине q.
Одной из основных характеристик мультифрактала является набор вероятностей Pi, показывающих относительную заселенность ячеек є, которыми мы покрываем это множество. Чем меньше размер ячейки, тем меньше величина ее заселенности. Для самоподобных множеств зависимость рі от размера ячейки є имеет степенной характер
Рг(е) « (2.61)
где осі представляет собой некоторый показатель степени (разный, вообще говоря, для разных ячеек г). Известно, что для регулярного (однородного) фрактала все показатели степени щ одинаковы и равны фрактальной размерности D
Pi = 1/N{s) и Sd. (2.62)
В этом случае статистическая сумма (2.3) имеет вид
N (є)
Z{q,є) = E Рі(?) = N{e)?Dq и eD{~q-l). (2.63)
i=l
Поэтому r(q) = D(q — 1) и все обобщенные фрактальные размерности Dq = D в этом случае совпадают и не зависят от q.
Однако для такого более сложного объекта, как мультифрактал, вследствие его неоднородности, вероятности заполнения ячеек Pi в общем случае неодинаковы, и показатель степени оц для разных ячеек может принимать различные значения. Как мы увидим ниже, достаточно типичной является ситуация, когда эти значения непрерывно заполняют некоторый закрытый интервал (атішатах), причем
Pmin ~ ?атах, а ртах и єатіп. (2.64)
106 Установим сперва связь этих предельных значений а со значениями производной от функции r(q). А именно, рассмотрим пределы этой производной при q —>• ±00. Так, если мы возьмем значение q 00, то при выполнении суммирования по г в выражении (2.11) будет существенен вклад только наиболее заселенных ячеек, каждая из которых характеризуется максимальной вероятностью заполнения Pmax- Оставив В CyMMe ТОЛЬКО ТЭКИе ячейки (численностью -ZVmax), МЫ ВИДИМ, ЧТО числитель выражения (2.11) равен -ZVmaxPmax InPmax5 а знаменатель NmaxP1Inax Іпє. В результате, учитывая, чторшах ~ ?аmin, искомый предел производной оказывается равным amin. Аналогичным образом, если q —00, то при суммировании в выражении (2.11) необходимо учитывать только наименее заселенные ячейки, характеризующиеся вероятностью Pmi11. В этом случае очевидно, что производная dr/dq стремится к значению атах.
