Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Величину этой же производной при достаточно больших по модулю значениях q можно вычислить и по-другому. Для этого заметим, что в том случае, когда функция Dq имеет конечные пределы при q ±00 (равные -D±oo)? функция r(q) может быть аппроксимирована следующим образом: r(q —>• ±00) и qD±00. Таким образом, мы приходим к важному выводу, что
dr dq
Т.е. интервал возможных значений а определяется предельными значениями (при q —>• ±00) обобщенных фрактальных размерностей Dq.
Перейдем теперь к вопросу о распределении вероятностей различных значений щ. Пусть n(a)da есть вероятность того, что a-L находится в интервале от а до а + da. Другими словами, n(a)da представляет собой относительное число ячеек г, обладающих одной и той же мерой Pi с щ, лежащими в этом интервале. В случае монофрактала, для которого все осі одинаковы (и равны фрактальной размерности D), это число, очевидно, пропорционально полному количеству ячеек N (є) fa ?~d, степенным образом зависящим от размера ячейки є. Показатель степени в этом соотношении определяется фрактальной размерностью множества D.
Для мультифрактала, однако, это не так, и разные значения щ встречаются с вероятностью, характеризуемой не одной и той же
dr
— Uoo — CKmim ,
g-S>+oc dq
= D-x = «max- (2.65)
<7—>-—00
107 величиной D, а разными (в зависимости от а) значениями показателя степени /(а),
п(а) и ?~/(а). (2.66)
Таким образом, физический смысл функции f(a) заключается в том, что она представляет собой хаусдорфову размерность некоего однородного фрактального подмножества Ca из исходного множества С, характеризуемого одинаковыми вероятностями заполнения яче-єа. Поскольку фрактальная размерность подмножества очевидно всегда меньше или равна фрактальной размерности исходного множества D0, имеет место важное неравенство для функции f(a)
/И < D0. (2.67)
В результате мы пришли к выводу, что набор различных значений функции f(a) (при разных а) представляют собой спектр фрактальных размерностей однородных подмножеств Ca, на которые можно разбить исходное множество С. Отсюда становится понятным термин мультифрактал. Его можно понимать как некое объединение различных однородных фрактальных подмножеств Ca исходного множества С, каждое из которых имеет свое собственное значение фрактальной размерности f(a).
Поскольку любому подмножеству принадлежит лишь часть от общего числа ячеек N(є), на которые мы разбили исходное множество С, условие нормировки вероятностей (2.2), очевидно, не выполняется при суммировании только по этому подмножеству. Сумма этих вероятностей оказывается меньше единицы. Поэтому и сами вероятности Pi с одним и тем же значением осі очевидно меньше (или в крайнем случае одного порядка), чем величина є^аі\ которая обратно пропорциональна числу имеющихся ячеек, покрывающих данное подмножество (напомним, что в случае монофрактала p-L « 1/N(s)). В результате мы приходим к следующему важному неравенству для функции f(a). А именно, при всех значениях а
/(а) < а. (2.68)
Знак равенства имеет место, например, для полностью однородного фрактала, где f(a) = a = D. Впоследствии мы увидим, что это свойство тесно связано со свойством (2.34) функции Dq, которая либо монотонно убывает, либо остается постоянной при увеличении q.
108 2.2.2 Преобразование Лежандра
Установим теперь связь функции f(a) с введенной нами ранее функцией r(q). Вычислим для этого статистическую сумму Z(q,e). Подставляя в выражение (2.3) вероятности pi « єаі и переходя от суммирования по г к интегрированию по а с плотностью вероятности (2.66), мы получим
N (є)
Z(q, є) = E Pqi (є) « / da n(a)sqa « J da?qa~f{a). (2.69)
i=l
Так как величина є очень мала, то основной вклад в этот интеграл дадут те значения a(q), при которых показатель степени qa — f(a) оказывается минимальным (а соответственно, подынтегральная функция — максимальной). Этот вклад, очевидно, будет пропорционален значению подинтегральной функции в точке максимума. Само же значение a(q) определяется при этом из условия
І [««- /(«)]
= 0. (2.ТО)
a=a(q)
Очевидно также, что из условия минимума мы имеем
d2
da2
[qa - /(а)]
> 0. (2.71)
a=a(q)
В результате получаем, что зависимость a(q) неявным образом определяется из уравнения
dfia)
и что функция f(a) является всюду выпуклой
f"{a) > 0. (2.73)
Подставляя это значение a(q) в интеграл (2.69), получаем выражение для статсуммы
Z(q,e) и (2.74)
Это означает, что величина f(a(q)) действительно определяет фрактальную размерность того подмножества Ca^, которое дает доминирующий вклад в статистическую сумму (2.69) при заданной величине показателя степени q.
109 Сравнивая выражение (2.74) с выражением (2.6), приходим к выводу, что
r(q) = qa(q) - f(a(q)). (2.75)
Отсюда с помощью уравнения (2.4) можно найти функцию Dq
1
D
q~q
— [qa(q) - f(a(q))]. (2.76)
Таким образом, если мы знаем функцию мультифрактального спектра /(ск), то с помощью соотношений (2.72) и (2.76) мы можем найти функцию Dq. Наоборот, зная Dq, мы можем найти зависимость a(q) с помощью уравнения
