Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
a{q) = Tq[{q~ 1)Dq] (2-77)
и после этого найти из (2.76) зависимость f(a(q)). Эти два уравнения и определяют (в параметрическом виде) функцию f(a).
Для доказательства соотношения (2.77) продифференцируем выражение (2.75) по а
dIciI = q + QdI -dL (2 78)
dq da da da
Принимая во внимание, что q = df/da, и сокращая это равенство на dq/da, приходим к соотношению
а = (2,9)
эквивалентному выражению (2.77).
Выражения (2.75) и (2.79) задают преобразования Лежандра от переменных {q,r(q)} к переменным {a,f(a)}
dr
а = —,
aq (2.80)
/И = т.
Обратное преобразование Лежандра определяется формулами (2.72) и (2.75)
а = ^-
d^ (2.81) r^) = adk~f-
110 Подобные рассуждения позволяют с помощью соотношений (2.79) и (2.72) связать вторые производные этих функций
da2
d2f
(2.82)
Как известно, для однородного фрактала Dq = D = const. Поэтому a = dr/dq = D и f(a) = qa — r(q) = qD — D(q — 1) = D. В этом случае "график" функции f(a) на плоскости (a,f(a)) состоит всего из одной точки (D,D). Обратимся теперь к более интересным случаям, когда график функции f(a) состоит не из дискретных точек, а представляет собой некоторую непрерывную линию. Каковы тогда общие свойства этой функции?
2.2.3 Свойства функции f(a)
Проанализируем теперь поведение функции f(a) для различных значений а. Поскольку, согласно (2.72), f'(a) = q, то при q = 0 производная функции f(a) обращается в ноль. Это значит, что в некоторой точке ско — ск(0) функция f(a) имеет максимум (напомним, что функция f(a) является всюду выпуклой).
Рис. 2.11. Максимум функции f(a) равен фрактальной размерности Dq.
Значение функции в максимуме легко определить, если воспользоваться выражением (2.76). Положив в нем q = 0, мы получим, что /(«о) = Dq1 т.е. максимальное значение f(a) равно хаусдорфовой размерности мультифрактала Dq1 т.е. фрактальной размерности
8
а
^max
111 носителя меры. Качественно эта ситуация отражена на рис. 2.11. Там же показаны границы интервала (CKmin5CKmax), в котором задана функция /(ск). Заметим, что обращение функции /(ск) в ноль на этих границах (как показано на рисунке) вовсе не обязательно, и в ряде случаев /(ск) в одной из этих точек (или в обоих) может быть и отлична от нуля. Обязательным условием, однако, является обращение в бесконечность производной /'(ск) в этих двух точках. Это является прямым следствием соотношения (2.72) и того факта, что
ТОЧКИ CKmin,max СООТВЄТСТВуЮТ ЗНЭЧеНИЯМ q —>• =I= OO.
Функция /(ск) вблизи своего максимума может быть аппроксимирована параболой. Кривизна параболы определяется значением второй производной от этой функции в точке CK0- Пользуясь соотношением (2.82), получаем, что /"(ск0) = 1 /"(0). Дифференцируя теперь формулу r(q) = (q — 1 )Dq дважды и принимая во внимание, что т'(0) = ско, мы приходим к выражению
т"(0) = 2(A) - а0) - Az=O- (2-83)
Отсюда следует искомая аппроксимация
/(ск) «А - г , (2.84)
JK ) 2[2(ао- A)+A^0] 1 )
Из условия выпуклости функции / (ск) очевидно, что величина, стоящая в квадратных скобках в этом выражении, должна быть всегда положительна. Часто последнее слагаемое, DqL0, в этих скобках численно мало, и им можно пренебречь.
Рассмотрим теперь случай q = 1. Поскольку т(1) = 0, то из (2.75) следует, что ск(1) = /(ск(1)). С другой стороны, согласно (2.72), производная от функции /(ск) в этой точке равна 1: /'(ск(1)) = 1. Дифференцируя соотношение r(q) = (q — 1 )Dq по q с учетом (2.79)
J = Dq + (q - 1Щ = a(q) (2.85)
и полагая в нем q = 1, мы получаем, что ск(1) = D1. Таким образом, мы имеем
D1 = ск(1) = /(ск(1)), (2.86)
112 т.е. информационная размерность Di лежит на кривой /(ск) в точке, где а = /(а) и f'(a) = 1. Это дает нам графический способ определения информационной размерности по кривой f(a) (см. рис. 2.12 ).
f(«)
D
D
Рис. 2.12. Нахождение информационной размерности Di: Di = a = f(a).
То, что графики функций а и f(a) касаются друг друга именно в точке (Di7Di), вовсе не случайно. Напомним, что f(a( 1)) — это значение фрактальной размерности того подмножества из С, которое дает наибольший вклад в статистическую сумму при q = 1. Но при q = 1 статистическая сумма в силу условия нормировки равна 1 и не зависит от размера ячейки є. Следовательно, этот наибольший вклад должен быть также порядка единицы. Поэтому в этом (и только в этом) случзє вероятности заполнения ячеек. r^j єа обратно пропорциональны числу имеющихся ячеек п(а) « т.е. f(a) = а.
Рассмотрим теперь случай q = 2. Пользуясь формулой (2.76), получаем
или f(a(2)) = 2ск(2) — D2, что соответствует геометрическому построению на рис. 2.13 .
Как мы уже отмечали, неравенство (2.68), а > f(a), выведенное нами выше из качественных соображений, эквивалентно утверждению, что производная D^ < 0. Докажем здесь это. Для этого продифференцируем выражение Dq = r(q)/(q — 1) по q. Принимая во
D2 = 2а(2) - /(а(2))
(2.87)
из 2a—Dc
а
Рис. 2.13. Геометрическое определение корреляционной размерности D2.
внимание соотношения (2.79) и (2.75), получим
